Calcule a integral de linha.
, onde
e
é dado por
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos a integral de linha
de um campo vetorial
sobre a curva
parametrizada por
,
. Vamos usar a definição
Passo 2
Calcular a derivada da parametrização:
$$\mathbf r(t)=(t2,,t3,,-t)\quad\Longrightarrow\quad\mathbf r’(t)=(2t,,3t^2,,-1).
$$
Passo 3
Avaliar o campo vetorial em
: como
,
,
, temos
Passo 4
Montar o produto escalar
:
Passo 5
Integrar termo a termo de
a
:
Primeiro, . Usando integração por partes em
, obtemos
Primeiro,
$$\int_0^1 2t e^{-t}dt=[-2t e{-t}-2e{-t}]_0^1=2-\frac{4}{e}.
$$
Para os outros termos:
Para os outros termos:
Passo 6
Somar os resultados:
$$\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r=\Bigl(2-\frac{4}{e}\Bigr)-\Bigl(\frac12+\frac13+\frac14\Bigr)=2-\frac{4}{e}-\frac{13}{12}=\frac{11}{12}-\frac{4}{e}.
$$