Calcule a integral de linha.
integralC F cdot d r, onde F(x, y, z)=e^z i+x z j+(x+y) k e C é dado por r(t)=t^2 i+t^3 j-t k, 0 <= t <= 1

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos a integral de linha integralC Fcdot d r de um campo vetorial F(x,y,z)=e^z, i + xz, j + (x+y), k sobre a curva C parametrizada por r(t)=(t^2,,t^3,,-t), 0<= t<=1. Vamos usar a definição
integralC Fcdot d r=integral0^1 F( r(t))cdot r'(t),dt

Passo 2

Calcular a derivada da parametrização:
$$\mathbf r(t)=(t2,,t3,,-t)\quad\Longrightarrow\quad\mathbf r’(t)=(2t,,3t^2,,-1).
$$

Passo 3

Avaliar o campo vetorial em r(t): como x=t^2, y=t^3, z=-t, temos
F( r(t))=(e^-t,,-t^3,,t^2+t^3)

Passo 4

Montar o produto escalar F( r(t))cdot r'(t):
F( r(t))cdot r'(t)=e^-tcdot2t+(-t^3)cdot3t^2+(t^2+t^3)cdot(-1)=2t,e^-t-3t^5-t^2-t^3

Passo 5

Integrar termo a termo de t=0 a 1:
Primeiro, integral0^1 2t e^-tdt. Usando integração por partes em integral t e^-tdt = -t e^-t-e^-t, obtemos
$$\int_0^1 2t e^{-t}dt=[-2t e{-t}-2e{-t}]_0^1=2-\frac{4}{e}.
$$
Para os outros termos:
integral0^1 2t e^-tdt=[-2t e^-t-2e^-t]0^1=2-4e

Passo 6

Somar os resultados:
$$\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r=\Bigl(2-\frac{4}{e}\Bigr)-\Bigl(\frac12+\frac13+\frac14\Bigr)=2-\frac{4}{e}-\frac{13}{12}=\frac{11}{12}-\frac{4}{e}.
$$

Resposta

1112-4e

Exercícios relacionados