Mostre que
é um campo vetorial conservativo. Então determine uma função
tal que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o campo vetorial
é conservativo e depois determinar uma função escalar
tal que
. O conteúdo aqui é campo conservativo em
e potencial escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes de
:
Para um campo ser conservativo em um domínio aberto e simplesmente conexo (como
), basta verificar se
Passo 3
Vamos calcular cada derivada parcial. Usando regra do produto e cadeia, temos:
E
Como as duas derivadas coincidem, concluímos que
é conservativo.
Passo 4
Agora que sabemos que existe potencial
, integramos
em relação a
, tratando
como constante:
Note que
então
Passo 5
Para achar
, calculamos
Como
deve ser igual a
, temos
Integrando em
, obtemos
onde
é constante arbitrária.
Passo 6
Podemos escolher a constante
(já que o potencial é único até uma constante) e, assim, obter a função potencial:
Resposta
Uma possível função potencial é
pois satisfaz
e mostra que o campo é conservativo.