Mostre que F é um campo vetorial conservativo. Então determine uma função f tal que F=nabla f.
F(x, y)=(1+x y) e^x y i+(e^y+x^2 e^x y) j

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o campo vetorial F(x,y)=(1+xy)e^xy,i+(e^y+x^2e^xy),j é conservativo e depois determinar uma função escalar f(x,y) tal que F=nabla f. O conteúdo aqui é campo conservativo em R^2 e potencial escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes de F:
P(x,y)=(1+xy)e^xy,
Q(x,y)=e^y+x^2e^xy
Para um campo ser conservativo em um domínio aberto e simplesmente conexo (como R^2), basta verificar se
partial Ppartial y=partial Qpartial x

Passo 3

Vamos calcular cada derivada parcial. Usando regra do produto e cadeia, temos:
partial Ppartial y=partialpartial yl((1+xy)e^xyr) = x e^xy + (1+xy)cdot x e^xy = (2x + x^2y)e^xy
E
partial Qpartial x=partialpartial xl(e^y + x^2e^xyr) = 2x e^xy + x^2cdot y e^xy = (2x + x^2y)e^xy
Como as duas derivadas coincidem, concluímos que F é conservativo.

Passo 4

Agora que sabemos que existe potencial f(x,y), integramos P(x,y) em relação a x, tratando y como constante:
f(x,y)=integral (1+xy)e^xy,dx + h(y)
Note que
ddxl(x e^xyr)= e^xy + xcdot y e^xy=(1+xy)e^xy,
então
f(x,y)=x e^xy + h(y)

Passo 5

Para achar h(y), calculamos
partial fpartial y=partialpartial yl(x e^xy + h(y)r) = x^2e^xy + h'(y)
Como partial f/partial y deve ser igual a Q(x,y)=e^y+x^2e^xy, temos
h'(y)=e^y
Integrando em y, obtemos
h(y)=e^y + C,
onde C é constante arbitrária.

Passo 6

Podemos escolher a constante C=0 (já que o potencial é único até uma constante) e, assim, obter a função potencial:
f(x,y)=x e^xy+e^y

Resposta

Uma possível função potencial é
f(x,y)=x e^xy+e^y,
pois satisfaz nabla f=F e mostra que o campo é conservativo.

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