Calcule a integral de linha.
integralC F cdot d r, onde F(x, y)=x y i+x^2 j, e C é dado por r(t)=sen t i+(1+t) j, 0 <= t <= pi

Passo 1

Temos um campo vetorial F(x, y)=x y,i+x^2,j e uma curva C parametrizada por r(t)=(sin t,;1+t), 0<= t<=pi. Queremos calcular a integral de linha integralCFcdot dr usando a fórmula integrala^bF(r(t))cdotr'(t),dt.

Passo 2

Calculamos a derivada da parametrização: r'(t)=(cos t,;1). Substituindo em F obtemos F(r(t))=(sin t,(1+t),;sin^2 t).

Passo 3

Fazemos o produto interno
F(r(t))cdotr'(t)=sin t,(1+t)cos t + sin^2 t
Então a integral vira
integral0^pil[sin t,(1+t)cos t + sin^2 tr]dt

Passo 4

Usamos identidades trigonométricas: sin tcos t=tfrac12sin2t e sin^2 t=tfrac12(1-cos2t). Assim o integrando é
tfrac12(1+t)sin2t + tfrac12(1-cos2t)

Passo 5

Separamos a integral em duas partes e calculamos:
  1. integral0^pitfrac12(1+t)sin2t,dt por partes com
    u=1+t,;dv=sin2t,dt, dando
-1+t4cos2t + 18sin2t
  1. integral0^pitfrac12(1-cos2t),dt = t2 - 14sin2t
    Somando as duas primitiva gerais fica
-1+t4cos2t - 18sin2t + t2

Passo 6

Agora avaliamos nos limites. Em t=pi resulta
t=0
e em temos

A diferença é

Resposta

dfracpi4

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