Calcule a integral de linha.
integralC x y d x+y^2 d y+y z d z, C é o segmento de reta de (1,0,-1) a (3,4,2)

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a integral de linha
af de forma geral integralC P,dx + Q,dy + R,dz onde
P(x,y,z)=xy, Q(x,y,z)=y^2 e R(x,y,z)=yz,
sobre o segmento de reta de (1,0,-1) a (3,4,2).
O conteúdo é integral de linha de um campo vetorial, e vamos precisar de:
parametrizar a curva, calcular dx,dy,dz e montar
a integral em t.

Passo 2

Para parametrizar o segmento de reta, usamos
r(t) = (x(t),y(t),z(t)) = (1+2t,;0+4t,;-1+3t), 0<= t<=1
Dessa forma:
x(t)=1+2t, y(t)=4t, z(t)=-1+3t,
dx=2,dt, dy=4,dt, dz=3,dt

Passo 3

Substituímos na integral:
integralC xy,dx + y^2,dy + yz,dz = integral0^1 l[x(t)y(t),x'(t) + y(t)^2,y'(t) + y(t)z(t),z'(t)r]dt
Agora cada termo:
x(t)y(t)x'(t) = (1+2t)(4t)cdot2 = 8t(1+2t) = 8t +16t^2,
y(t)^2y'(t) = (4t)^2cdot4 =16t^2cdot4=64t^2,
y(t)z(t)z'(t)=4t(-1+3t)cdot3 =12t(-1+3t)= -12t+36t^2

Passo 4

Somando os termos dentro da integral:
8t+16t^2 +64t^2 +(-12t+36t^2) = (8t-12t) + (16+64+36)t^2 = -4t +116t^2
Então a integral fica
integral0^1 l(-4t +116t^2r)dt

Passo 5

Calculamos a primitiva e avaliamos de 0 a 1:
integral0^1 -4t,dt = -2t^2|0^1 = -2,
integral0^1 116t^2,dt = 1163t^3|0^1 = 1163
Somando,
-2 + 1163 = -6+1163 = 1103

Resposta

1103

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