Calcule a integral de linha integralC F d r quando F(x, y)=(2 x+y,-x+4 y) e c=Im alpha com alpha(t)=(2 cos t, 3 sen t) e 0 <= t <= 2 pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial F(x, y) = (2x + y, -x + 4y) ao longo de uma curva C que é definida pela parametrização alpha(t) = (2 cos t, 3 sin t) com 0 <= t <= 2pi .
Matéria envolvida: Cálculo de integrais de linha de campos vetoriais.
O que vamos precisar:
  • Parametrizar a curva C .
  • Calcular a derivada de alpha(t) .
  • Substituir alpha(t) no campo vetorial F .
  • Fazer o produto escalar entre F(alpha(t)) e alpha'(t) .
  • Integrar essa expressão de t = 0 a t = 2pi .

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva C usando alpha(t) = (2 cos t, 3 sin t) . Isso significa que durante o movimento ao longo de C , as coordenadas x e y variam conforme:
x(t) = 2 cos t y(t) = 3 sin t

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de alpha(t) em relação a t , que é alpha'(t) . Derivando cada componente:
alpha'(t) = ( dxdt, dydt ) = (-2 sin t, 3 cos t)

Passo 4

Em seguida, substituímos alpha(t) no campo vetorial F(x, y) :
F(alpha(t)) = F(2 cos t, 3 sin t) = (2(2 cos t) + 3 sin t, -2 cos t + 4(3 sin t)) = (4 cos t + 3 sin t, -2 cos t + 12 sin t)

Passo 5

Agora, fazemos o produto escalar entre F(alpha(t)) e alpha'(t) :
F(alpha(t)) cdot alpha'(t) = (4 cos t + 3 sin t)(-2 sin t) + (-2 cos t + 12 sin t)(3 cos t)
Vamos simplificar cada parte:
= -8 cos t sin t - 6 sin^2 t -6 cos^2 t + 36 sin t cos t
Agrupando termos semelhantes:
= (-8 cos t sin t + 36 sin t cos t) + (-6 sin^2 t - 6 cos^2 t) = 28 sin t cos t - 6 (sin^2 t + cos^2 t)
Sabemos que sin^2 t + cos^2 t = 1 , então:
= 28 sin t cos t - 6

Passo 6

Agora, vamos integrar essa expressão de t = 0 a t = 2pi :
integral0^2pi (28 sin t cos t - 6) dt = 28 integral0^2pi sin t cos t , dt - 6 integral0^2pi dt
Vamos resolver cada integral separadamente.

Passo 7

Primeira integral: 28 integral0^2pi sin t cos t , dt
Usamos a identidade trigonométrica sin t cos t = 12 sin 2t :
28 integral0^2pi 12 sin 2t , dt = 14 integral0^2pi sin 2t , dt
A integral de sin 2t de 0 a 2pi é zero, porque a função senoidal se anula neste intervalo.

Passo 8

Segunda integral: -6 integral0^2pi dt = -6 [t]0^2pi = -6 (2pi - 0) = -12pi

Resposta

A integral de linha integralC F , dr é igual a -12pi .

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