Calcule a integral de linha
quando
e
com
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial
ao longo de uma curva
que é definida pela parametrização
com
.
Matéria envolvida: Cálculo de integrais de linha de campos vetoriais.
O que vamos precisar:
- Parametrizar a curva
. - Calcular a derivada de
. - Substituir
no campo vetorial . - Fazer o produto escalar entre
e . - Integrar essa expressão de
a .
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
usando
. Isso significa que durante o movimento ao longo de
, as coordenadas
e
variam conforme:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, que é
. Derivando cada componente:
Passo 4
Em seguida, substituímos
no campo vetorial
:
Passo 5
Agora, fazemos o produto escalar entre
e
:
Vamos simplificar cada parte:
Agrupando termos semelhantes:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Agora, vamos integrar essa expressão de
a
:
Vamos resolver cada integral separadamente.
Passo 7
Primeira integral:
Usamos a identidade trigonométrica
:
A integral de
de
a
é zero, porque a função senoidal se anula neste intervalo.
Passo 8
Segunda integral:
Resposta
A integral de linha
é igual a
.