Calcule a integral de linha integralC f d r, onde:
b) f(x, y, z)=sen(x) imath+cos (y) jmath+x z k e r(t)=t^3 imath+t^2 jmath+t jmath
com 0 <= t <= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha! O enunciado pede pra calcular a integral integralC f cdot dr, onde a função vetorial é f(x, y, z) = sin(x) imath + cos(y) jmath + x z k e a curva C é dada por r(t) = t^3 imath + t^2 jmath + t k com 0 <= t <= 1. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e integração de funções vetoriais ao longo de trajetórias.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma integral de linha. Basicamente, estamos coletando uma “soma” da função vetorial f ao longo da curva C. Para calcular isso, precisamos expressar f em termos de t, já que a curva está parametrizada por t.

Passo 3

Vamos começar substituindo as coordenadas da curva r(t) na função vetorial f(x, y, z). Isso significa que x = t^3, y = t^2 e z = t. Então:
f(t) = sin(t^3) imath + cos(t^2) jmath + t^3 cdot t k = sin(t^3) imath + cos(t^2) jmath + t^4 k

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a derivada de r(t) em relação a t, que é r,'(t). Isso vai nos dar a direção da curva em cada ponto:
r,'(t) = ddt(t^3) imath + ddt(t^2) jmath + ddt(t) k = 3t^2 imath + 2t jmath + 1 k

Passo 5

A integral de linha integralC f cdot dr pode ser reescrita como uma integral de t de 0 a 1 da seguinte forma:
integral0^1 f(t) cdot r,'(t) , dt
Isso significa que precisamos calcular o produto escalar de f(t) e r,'(t).

Passo 6

Vamos calcular o produto escalar f(t) cdot r,'(t):
f(t) cdot r,'(t) = sin(t^3) cdot 3t^2 + cos(t^2) cdot 2t + t^4 cdot 1 = 3t^2 sin(t^3) + 2t cos(t^2) + t^4

Passo 7

Agora, nossa integral fica assim:
integral0^1 (3t^2 sin(t^3) + 2t cos(t^2) + t^4) , dt
Vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 8

Vamos integrar o primeiro termo:
integral0^1 3t^2 sin(t^3) , dt
Fazendo uma substituição u = t^3, então du = 3t^2 dt. A integral simplifica para:
integral0^1 sin(u) , du = -cos(u) g|0^1 = -cos(1) + cos(0) = 1 - cos(1)

Passo 9

Agora, o segundo termo:
integral0^1 2t cos(t^2) , dt
Fazemos a substituição v = t^2, então dv = 2t dt. A integral fica:
integral0^1 cos(v) , dv = sin(v) g|0^1 = sin(1) - sin(0) = sin(1)

Passo 10

Por fim, o terceiro termo:
integral0^1 t^4 , dt = t^55 g|0^1 = 15 - 0 = 15

Passo 11

Agora, somamos todas as integrais:
(1 - cos(1)) + sin(1) + 15

Resposta

A integral de linha é igual a 1 - cos(1) + sin(1) + dfrac15.

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