Beleza, vamos resolver essa integral de linha! O enunciado pede pra calcular a integral , onde a função vetorial é e a curva é dada por com . Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e integração de funções vetoriais ao longo de trajetórias.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma integral de linha. Basicamente, estamos coletando uma “soma” da função vetorial ao longo da curva . Para calcular isso, precisamos expressar em termos de , já que a curva está parametrizada por .
Passo 3
Vamos começar substituindo as coordenadas da curva na função vetorial . Isso significa que , e . Então:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a , que é . Isso vai nos dar a direção da curva em cada ponto:
Passo 5
A integral de linha pode ser reescrita como uma integral de de 0 a 1 da seguinte forma:
Isso significa que precisamos calcular o produto escalar de e .
Passo 6
Vamos calcular o produto escalar :
Passo 7
Agora, nossa integral fica assim:
Vamos integrar cada termo separadamente.
Passo 8
Vamos integrar o primeiro termo:
Fazendo uma substituição , então . A integral simplifica para:
Passo 9
Agora, o segundo termo:
integral0^1 2t cos(t^2) , dt
Fazemos a substituição v = t^2, então dv = 2t dt. A integral fica: