Calcule a integral de linha
, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos calcular essa integral de linha aí! A gente precisa encontrar
, onde o campo vetorial
e a curva
é dada pela parametrização
, com
variando de
até
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de integral de linha, que envolve substituir as coordenadas da curva na função vetorial e integrar em relação ao parâmetro
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
em relação a
, que é
. Isso vai nos dar o vetor tangente à curva
.
Passo 3
Agora, vamos substituir a parametrização
na função vetorial
para obter
.
(Note que
porque o cosseno é uma função par.)
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto escalar
.
Simplificando:
Passo 5
Finalmente, vamos integrar essa expressão de
até
para encontrar o valor da integral de linha.
Vamos resolver cada parte separadamente:
-
Integral de
: - Fazendo a substituição
, então . - A integral vira
.
- Fazendo a substituição
-
Integral de
: - Substituição
, então . - A integral fica
.
- Substituição
-
Integral de
: - Basta integrar normalmente:
.
- Basta integrar normalmente:
Agora, juntando tudo e avaliando de
a
:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
A integral de linha é igual a
.