Calcule a integral de linha integralC F d r, onde F(x, y, z)=sen x i-cos y j+ x z k, r(t)=t^3 i-t^2 j+t k, 0 <= t <= pi.

Passo 1

Beleza, vamos calcular essa integral de linha aí! A gente precisa encontrar integralC F cdot dr, onde o campo vetorial F(x, y, z) = sin x i - cos y j + x z k e a curva C é dada pela parametrização r(t) = t^3 i - t^2 j + t k, com t variando de 0 até pi. Para resolver isso, vamos usar o conceito de integral de linha, que envolve substituir as coordenadas da curva na função vetorial e integrar em relação ao parâmetro t.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de r(t) em relação a t, que é r,'(t). Isso vai nos dar o vetor tangente à curva C.
r,'(t) = ddt ( t^3 i - t^2 j + t k ) = 3t^2 i - 2t j + k

Passo 3

Agora, vamos substituir a parametrização r(t) na função vetorial F(x, y, z) para obter F(r(t)).
F(r(t)) = sin(t^3) i - cos(-t^2) j + (t^3)(t) k = sin(t^3) i - cos(t^2) j + t^4 k
(Note que cos(-t^2) = cos(t^2) porque o cosseno é uma função par.)

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar F(r(t)) cdot r,'(t).
F(r(t)) cdot r,'(t) = sin(t^3) cdot 3t^2 + [-cos(t^2)] cdot (-2t) + t^4 cdot 1
Simplificando:
= 3t^2 sin(t^3) + 2t cos(t^2) + t^4

Passo 5

Finalmente, vamos integrar essa expressão de t = 0 até t = pi para encontrar o valor da integral de linha.
integral0^pi ( 3t^2 sin(t^3) + 2t cos(t^2) + t^4 ) dt
Vamos resolver cada parte separadamente:
  1. Integral de 3t^2 sin(t^3):
    • Fazendo a substituição u = t^3, então du = 3t^2 dt.
    • A integral vira integral sin(u) du = -cos(u) + C = -cos(t^3).
  2. Integral de 2t cos(t^2):
    • Substituição v = t^2, então dv = 2t dt.
    • A integral fica integral cos(v) dv = sin(v) + C = sin(t^2).
  3. Integral de t^4:
    • Basta integrar normalmente: integral t^4 dt = t^55 + C.
Agora, juntando tudo e avaliando de 0 a pi:
[ -cos(t^3) + sin(t^2) + t^55 ]0^pi = ( -cos(pi^3) + sin(pi^2) + pi^55 ) - ( -cos(0) + sin(0) + 0 )
Sabemos que cos(0) = 1 e sin(0) = 0, então:
= -cos(pi^3) + sin(pi^2) + pi^55 - (-1 + 0 + 0) = -cos(pi^3) + sin(pi^2) + pi^55 + 1

Resposta

A integral de linha é igual a -cos(pi^3) + sin(pi^2) + pi^55 + 1.

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