Nome:
Se
é o círculo
com a orientação antihorária, calcule
.
a)
b)
c)
d) 0
.
Se
a)
b)
c)
d) 0
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos a integral de uma função complexa sobre um círculo específico no plano complexo. O enunciado é:
Se $ C $ é o círculo $ |z - (2 + i)| = 2 $ com orientação antihorária, calcule $ \int_{C} \frac{e{z{2}}}{z - 2} , dz $.
Vamos precisar usar o Teorema dos Resíduos, que nos ajuda a calcular integrais de funções complexas ao redor de contornos fechados.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos onde a função $ \frac{e{z{2}}}{z - 2} $ tem singularidades, ou seja, onde ela não é analítica. Aqui, a única singularidade é em $ z = 2 $, porque o denominador se anula nesse ponto.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se esse ponto $ z = 2 $ está dentro do nosso círculo $ C $. O círculo está centrado em $ 2 + i $ e tem raio 2. A distância entre $ z = 2 $ e o centro $ 2 + i $ é:
Como 1 é menor que o raio 2, o ponto $ z = 2 $ está dentro do círculo $ C $.
Passo 4
Segundo o Teorema dos Resíduos, a integral ao redor de $ C $ é igual a $ 2\pi i $ vezes o resíduo da função $ \frac{e{z{2}}}{z - 2} $ em $ z = 2 $.
Para encontrar o resíduo, observamos que é uma singularidade de ordem 1 (simples), então:
Passo 5
Aplicando o teorema:
Resposta
A resposta correta é a letra c) $ 2 \pi \cdot i e^{4} $.