Determine o intervalo de convergência das séries de potências:
sumn=1^infty 2^n(2 n)! x^2 n

Passo 1

O enunciado pede para achar o intervalo de convergência da série de potências sumn=1^infty 2^n(2n)!,x^2n. O assunto é séries de potências e vamos usar o teste da razão para determinar o raio de convergência.

Passo 2

Como a série só tem potências pares de x, é conveniente meter y = x^2. Então definimos a sequência de coeficientes an = 2^n(2n)! e a nossa série fica sumn=1^infty an,y^n.

Passo 3

Aplicamos o teste da razão: calculamos
L = limntoinfty | an+1,y^n+1an,y^n | = limntoinfty | 2^n+1(2n+2)!,y^n+1 cdot (2n)!2^n,y^-n | = limntoinfty 2,|y|(2n+2)(2n+1) = 0

Passo 4

Como L=0 para todo valor de y, o teste da razão garante convergência para qualquer yinR. Voltando a x, temos convergência para todo xinR, ou seja, o raio de convergência é infinito.

Resposta

(-\infty,,\infty)

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