Determine a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma função de três variáveis:
E queremos calcular a derivada direcional dessa função no ponto
na direção do vetor $ \mathbf{v} = \langle 2, 1, -2 \rangle $.
Para resolver isso, vamos precisar entender dois conceitos principais:
- Derivada Direcional: Medida de como a função muda na direção de um vetor específico.
- Gradiente da Função: Um vetor que aponta na direção da maior taxa de aumento da função e contém todas as derivadas parciais.
Vamos seguir passo a passo para encontrar a derivada direcional.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função $ f(x, y, z) $. O gradiente é um vetor que consiste nas derivadas parciais da função em relação a cada variável. Ou seja:
Vamos calcular cada derivada parcial.
Passo 3
Calculando
:
Derivando em relação a $ x $:
Passo 4
Calculando
:
Derivando $ f $ em relação a $ y $:
Passo 5
Calculando
:
Derivando $ f $ em relação a $ z $:
Passo 6
Agora, juntando tudo, o gradiente da função é:
Vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Substituindo $ x = 1 $, $ y = 2 $, $ z = 3 $:
Calculando cada componente:
Então:
Passo 7
Agora, precisamos normalizar o vetor $ \mathbf{v} = \langle 2, 1, -2 \rangle $ para obter um vetor unitário na direção de $ \mathbf{v} $. A normalização é feita dividindo cada componente pelo módulo do vetor.
O módulo de $ \mathbf{v} $ é:
Então, o vetor unitário $ \mathbf{u} $ na direção de $ \mathbf{v} $ é:
Passo 8
A derivada direcional de $ f $ na direção de $ \mathbf{v} $ é dada pelo produto escalar do gradiente de $ f $ no ponto considerado com o vetor unitário $ \mathbf{u} $:
Usando os valores que encontramos:
Calculando o produto escalar:
Simplificando cada termo:
Somando tudo:
Resposta
A derivada direcional da função $ f $ no ponto
na direção do vetor $ \mathbf{v} = \langle 2, 1, -2 \rangle $ é: