(2,0) Determine a derivada direcional da função f(x, y, z)=x^2 y+x raiz1+z no ponto (1,2,3) na direção do vetor v=lang<= 2,1,-2rang<=.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma função de três variáveis:
f(x, y, z) = x^2 y + x raiz1 + z
E queremos calcular a derivada direcional dessa função no ponto (1, 2, 3) na direção do vetor $ \mathbf{v} = \langle 2, 1, -2 \rangle $.
Para resolver isso, vamos precisar entender dois conceitos principais:
  1. Derivada Direcional: Medida de como a função muda na direção de um vetor específico.
  2. Gradiente da Função: Um vetor que aponta na direção da maior taxa de aumento da função e contém todas as derivadas parciais.
Vamos seguir passo a passo para encontrar a derivada direcional.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função $ f(x, y, z) $. O gradiente é um vetor que consiste nas derivadas parciais da função em relação a cada variável. Ou seja:
f(x, y, z)
Vamos calcular cada derivada parcial.

Passo 3

Calculando partial fpartial x:
f(x, y, z) = x^2 y + x raiz1 + z
Derivando em relação a $ x $:
x

Passo 4

Calculando partial fpartial y:
Derivando $ f $ em relação a $ y $:
f

Passo 5

Calculando partial fpartial z:
Derivando $ f $ em relação a $ z $:
f

Passo 6

Agora, juntando tudo, o gradiente da função é:
nabla f = ( 2x y + raiz1 + z, x^2, x2raiz1 + z )
Vamos avaliar o gradiente no ponto (1, 2, 3):
Substituindo $ x = 1 $, $ y = 2 $, $ z = 3 $:
x = 1
Calculando cada componente:
y = 2
z = 3
nabla f(1, 2, 3) = ( 2(1)(2) + raiz1 + 3, 1^2, 12raiz1 + 3 )
Então:
2(1)(2) = 4

Passo 7

Agora, precisamos normalizar o vetor $ \mathbf{v} = \langle 2, 1, -2 \rangle $ para obter um vetor unitário na direção de $ \mathbf{v} $. A normalização é feita dividindo cada componente pelo módulo do vetor.
O módulo de $ \mathbf{v} $ é:
v = lang<= 2, 1, -2 rang<=
Então, o vetor unitário $ \mathbf{u} $ na direção de $ \mathbf{v} $ é:
v

Passo 8

A derivada direcional de $ f $ na direção de $ \mathbf{v} $ é dada pelo produto escalar do gradiente de $ f $ no ponto considerado com o vetor unitário $ \mathbf{u} $:
f
Usando os valores que encontramos:
v
f
Calculando o produto escalar:
u
Simplificando cada termo:
Dv f = nabla f cdot u
nabla f(1, 2, 3) = ( 6, 1, 14 )
u = ( 23, 13, -23 )
Somando tudo:
Dv f = 6 cdot 23 + 1 cdot 13 + 14 cdot -23

Resposta

A derivada direcional da função $ f $ no ponto f na direção do vetor $ \mathbf{v} = \langle 2, 1, -2 \rangle $ é:
(1, 2, 3)

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