Calcule a integral de linha integralC F " d r, onde
l F(x, y, z)=x i-z j+y k e C é dado por r(t)=2 t i+3 t j-t^2 k,-1 <= t <= 1 é

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha do campo vetorial
F(x,y,z)=x,i-z,j+y,k
ao longo da curva C dada pela parametrização
r(t)=2t,i+3t,j-t^2,k, -1<= t<=1
O conteúdo é o de integrais de linha de campos vetoriais e vamos usar a fórmula
integralCFcdot dr =integralt0^t1F(r(t))cdotr'(t),dt

Passo 2

Primeiro achamos a derivada da parametrização:
r'(t) =ddtl(2t,,3t,,-t^2r) =(2,,3,,-2t)

Passo 3

Em seguida, substituímos r(t) no campo F:
x=2t, y=3t, z=-t^2 Longrightarrow F(r(t)) =l(2t,;-(-t^2),;3tr) =(2t,;t^2,;3t)

Passo 4

Agora calculamos o produto escalar
F(r(t))cdotr'(t):
(2t,;t^2,;3t)cdot(2,;3,;-2t) =2tcdot2+t^2cdot3+3tcdot(-2t) =4t+3t^2-6t^2 =4t-3t^2

Passo 5

Por fim, integramos de t=-1 até t=1:
integral-1^1(4t-3t^2),dt =integral-1^14t,dt-integral-1^13t^2,dt
Calculando cada parte,
integral-1^14t,dt =2t^2|-1^1 =2(1)-2(1)=0,
integral-1^13t^2,dt =3cdott^33|-1^1 =l(t^3r)|-1^1 =1-(-1)=2
Portanto
integral-1^1(4t-3t^2),dt =0-2=-2

Resposta

A integral de linha vale -2.

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