Calcule f^prime(x) para as funções f abaixo:
f(x)=x^2sen^33 x cos ^17 x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=x^2sin^33 x ; cos^17 x
O conteúdo aqui envolve diferenciação de produto e quociente, mas fica muito mais simples usando logaritmo (log\mbox{-}diferenciação) e, em seguida, regra da cadeia para sin x e cos x.

Passo 2

Reescrevemos f(x) como produto de potências:
f(x)=x^2,sin^-33x,cos^-17x

Passo 3

Aplicamos logaritmo natural em ambos os lados, definindo y=f(x):
ln y = lnl(x^2r) -33,lnl(sin xr) -17,lnl(cos xr)

Passo 4

Diferenciamos em relação a x, usando ddxln y = y'y, ddxln x^2 = 2x, ddxlnsin x=cot x e ddxlncos x=-tan x:
y'y = 2x -33cdotcos xsin x -17cdotl(-sin xcos xr) = 2x -33cot x +17tan x

Passo 5

Isolando y', obtemos
y' = yl(2x -33cot x +17tan xr)
Voltando a y=f(x),
f'(x) = x^2sin^33x,cos^17x,l(2x -33cot x +17tan xr)

Resposta

f'(x) = x^2sin^33x,cos^17x,l(2x -33cot x +17tan xr)

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