Encontre a solução geral das seguintes EDOs.
x^3 y^prime prime-x^2 y^prime prime+2 x y^prime-2 y=x(3+x^2) (x>0)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO
x^2y''+x,y'-2y=x^3+3x,
definida em x>0.
Esta é uma equação de Euler–Cauchy não homogênea. Para resolvê-la, a gente faz em duas partes: primeiro a solução da homogênea associada (usando o ansatz y=x^r) e depois uma particular por tentativa de polinômio.

Passo 2

Determinar a solução geral da parte homogênea
x^2y''+x,y'-2y=0
Assumimos y=x^r, então
y'=r,x^r-1, y''=r(r-1)x^r-2
Substituindo na homogênea:
x^2l[r(r-1)x^r-2r]+xl[r,x^r-1r]-2,x^r = r(r-1)x^r+r,x^r-2x^r = l[r(r-1)+r-2r]x^r=0
Daí vem a equação característica
r(r-1)+r-2=0 ;Longrightarrow; r^2-2=0 ;Longrightarrow; r=pmraiz2
Logo a solução homogênea é
yh(x)=C1,x^raiz2+C2,x^-raiz2

Passo 3

Procurar uma solução particular da forma
yp(x)=A,x^3+B,x,
pois o lado direito é x^3+3x. Calculamos
yp'=3A,x^2+B, yp''=6A,x
Substituindo em x^2y''+x,y'-2y:
x^2(6A,x)+x,(3A,x^2+B)-2,(A,x^3+B,x) =6A,x^3+3A,x^3+B,x-2A,x^3-2B,x =(7A),x^3+(-B),x
Igualando a x^3+3x dá o sistema
7A=1, -,B=3 ;Longrightarrow; A=tfrac17, ;B=-3
Então
yp(x)=17,x^3-3x

Passo 4

A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular, ou seja
y(x)=yh(x)+yp(x) =C1,x^raiz2+C2,x^-raiz2 +17,x^3-3x,
com C1,C2 constantes arbitrárias.

Resposta

boxedy(x)=C1,x^raiz2+C2,x^-raiz2 +17,x^3-3x, x>0

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