Encontre a solução geral das seguintes EDOs.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO
definida em
.
Esta é uma equação de Euler–Cauchy não homogênea. Para resolvê-la, a gente faz em duas partes: primeiro a solução da homogênea associada (usando o ansatz ) e depois uma particular por tentativa de polinômio.
Esta é uma equação de Euler–Cauchy não homogênea. Para resolvê-la, a gente faz em duas partes: primeiro a solução da homogênea associada (usando o ansatz
Passo 2
Determinar a solução geral da parte homogênea
Assumimos
, então
Substituindo na homogênea:
Daí vem a equação característica
Logo a solução homogênea é
Passo 3
Procurar uma solução particular da forma
pois o lado direito é
. Calculamos
Substituindo em
:
Igualando a
dá o sistema
Então
Passo 4
A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular, ou seja
com
constantes arbitrárias.