Encontre a solução geral das seguintes EDOs.
x^3 y^prime prime+x y^prime-y=x ln x (x>0)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO
x^3y''+x,y'-y = xln x, x>0,
que é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes não constantes. Vamos primeiro resolver a parte homogênea
x^3y''+x,y'-y = 0
e depois usar variação de parâmetros para obter uma solução particular da não-homogênea.

Passo 2

Procuramos soluções da homogênea do tipo y=x^m. Substituindo na equação homogênea:
y = x^m, y' = m,x^m-1, y'' = m(m-1)x^m-2,
x^3y''+x,y'-y = x^3l[m(m-1)x^m-2r]+xl[m,x^m-1r]-x^m = x^ml[m(m-1)x + m -1r]
Para isso anular para todo x é necessário
m(m-1)=0 e m-1=0,
daí m=1. Logo uma solução é
y1(x)=x

Passo 3

Para achar a segunda solução independente usamos redução de ordem. Se y2=u(x),y1(x) e fazemos o procedimento padrão, chega-se a
y2(x)=x,e^1/x
Portanto a solução geral da homogênea é
yh(x)=C1,x + C2,x,e^1/x

Passo 4

Agora buscamos uma solução particular da não-homogênea
x^3y''+x,y'-y = xln x
pelo método de variação de parâmetros. Na forma normalizada
y'' + 1x^2,y' - 1x^3,y = ln xx^2,
usando as fórmulas de variação de parâmetros com y1=x e y2=x e^1/x obtém-se após contas
yp(x) = x2,(ln x)^2 ;-; x,e^1/x; integral^xe^-1/t,ln t,t,,dt
Essa integral não se reduz a funções elementares, mas define uma solução particular válida em x>0.

Passo 5

Juntando homogênea e particular, a solução geral da EDO é
boxed y(x) = C1,x ;+; C2,x,e^1/x ;+; x2,(ln x)^2 ;-; x,e^1/x, integral^xe^-1/t,ln t,t,,dt,
com C1,C2 constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C1,x + C2,x,e^1/x + x2(ln x)^2 - x,e^1/x,integral^xe^-1/tln tt,dt

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