Encontre a solução geral das seguintes EDOs.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO
que é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes não constantes. Vamos primeiro resolver a parte homogênea
e depois usar variação de parâmetros para obter uma solução particular da não-homogênea.
Passo 2
Procuramos soluções da homogênea do tipo
. Substituindo na equação homogênea:
Para isso anular para todo
é necessário
daí
. Logo uma solução é
Passo 3
Para achar a segunda solução independente usamos redução de ordem. Se
e fazemos o procedimento padrão, chega-se a
Portanto a solução geral da homogênea é
Passo 4
Agora buscamos uma solução particular da não-homogênea
pelo método de variação de parâmetros. Na forma normalizada
usando as fórmulas de variação de parâmetros com
e
obtém-se após contas
Essa integral não se reduz a funções elementares, mas define uma solução particular válida em
.
Passo 5
Juntando homogênea e particular, a solução geral da EDO é
com
constantes arbitrárias.