Capítulo 6: A Transformada de Laplace
Seção 6.1:
Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções.
a) f(t)=2 t+3
b) f(t)=t^2-2 t+2
c) f(t)=cos ^2 t
d) f(t)=sen 2 t cos 2 t
e) f(t)=e^-t sen 3 t
f) f(t)=t cos a t
g) f(t)=e^a t senh b t
h) f(t)=e^a t cosh b t
i) f(t)=t^2 sen a t
j) f(t)=t e^2 t cos 3 t

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace
Lf(t)(s)=integral0^inftye^-stf(t),dt
para dez funções diferentes. Vamos usar as propriedades principais: linearidade, tabelas básicas
Lt^n=n!/s^n+1,
Lcos at=s/(s^2+a^2),
Lsin at=a/(s^2+a^2),
Lcosh bt=s/(s^2-b^2),
Lsinh bt=b/(s^2-b^2),
o teorema do deslocamento Le^atf(t)=F(s-a),
e a propriedade de diferenciação Lt^n f(t)=(-1)^n,d^nF(s)/ds^n.

Passo 2

Para
a) f(t)=2t+3, usando linearidade e
Lt=1/s^2, L1=1/s,
L2t+3 =2cdot1s^2+3cdot1s =2s^2+3s
Para
b) f(t)=t^2-2t+2, com Lt^2=2/s^3,
Lt^2-2t+2 =2s^3-2cdot1s^2+2cdot1s =2s^3-2s^2+2s

Passo 3

Para
c) f(t)=cos^2 t, use cos^2t=tfrac12+tfrac12cos2t,
Lcos^2t =12L1+12Lcos2t =12s+12cdotss^2+4 =12s+s2(s^2+4)
Para
d) f(t)=sin2tcos2t, use sin2tcos2t=tfrac12sin4t,
Lsin2tcos2t =12Lsin4t =12cdot4s^2+16 =2s^2+16

Passo 4

Lembrando
Lsin bt=tfracbs^2+b^2,
Lcos bt=tfracss^2+b^2,
Lsinh bt=tfracbs^2-b^2,
Lcosh bt=tfracss^2-b^2,
e o deslocamento Le^atf(t)=F(s-a).
Para
e) f(t)=e^-tsin3t, aplicando sto s+1 em sin3t,
Le^-tsin3t =3(s+1)^2+9
Para
g) f(t)=e^atsinh bt, aplicando sto s-a em sinh bt,
Le^atsinh bt =b(s-a)^2-b^2
Para
h) f(t)=e^atcosh bt, aplicando sto s-a em cosh bt,
Le^atcosh bt =s-a(s-a)^2-b^2

Passo 5

Para
f) f(t)=tcos at, use Lt,f(t)=-ddsF(s). Como
Lcos at=ss^2+a^2,
Ltcos at =-ddsl(ss^2+a^2r) =s^2-a^2(s^2+a^2)^2

Passo 6

Para
i) f(t)=t^2sin at, use Lt^2f(t)=d^2ds^2F(s). Com
F(s)=Lsin at=as^2+a^2,
Lt^2sin at =d^2ds^2l(as^2+a^2r) =2al(3s^2-a^2r)(s^2+a^2)^3

Passo 7

Para
j) f(t)=t e^2tcos3t, primeiro
Le^2tcos3t=s-2(s-2)^2+9,
depois derive e troque de sinal:
Lt e^2tcos3t =-ddsl(s-2(s-2)^2+9r) =(s-2)^2-9l((s-2)^2+9r)^2

Resposta

(a) 2s^2+3s
(b) 2s^3-2s^2+2s
(c) 12s+s2(s^2+4)
(d) 2s^2+16
(e) 3(s+1)^2+9
(f) s^2-a^2(s^2+a^2)^2
(g) b(s-a)^2-b^2
(h) s-a(s-a)^2-b^2
(i) 2al(3s^2-a^2r)(s^2+a^2)^3
(j) (s-2)^2-9l((s-2)^2+9r)^2

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