1. Calcule a integral de linha integralC F d r, onde C é dada pela função vetorial r(t).
    a) F(x, y)=x y i+3 y^2 j, r(t)=11 t^4 i+t^3 j, 0 <= t <= 1
    b) F(x, y, z)=sen(x) i+cos (y) j+x z k, r(t)=t^3 i-t^2 j+t k, 0 <= t <= pi

Passo 1

O enunciado pede para calcular duas integrais de linha
integralCvec Fcdot dvec r
por parametrização, sendo C dada por vec r(t).
O conteúdo que vamos usar é a fórmula
integralCvec Fcdot dvec r ;=;integralt0^t1vec Fl(vec r(t)r)cdotvec r,'(t),dt,
onde primeiro encontramos vec r,'(t), depois vec F(vec r(t)), fazemos o produto escalar e integramos no intervalo dado.

Passo 2

(a) Para
vec F(x,y)=x y,vec i+3y^2,vec j
e
vec r(t)=lang<=11t^4,;t^3rang<=,;0<= t<=1:
vec r,'(t)=lang<=44t^3,;3t^2rang<=, vec Fl(vec r(t)r) =llang<=11t^4cdot t^3,;3(t^3)^2rrang<= =lang<=11t^7,;3t^6rang<=
O produto escalar é
vec F(vec r(t))cdotvec r,'(t) =11t^7cdot44t^3+3t^6cdot3t^2 =484,t^10+9,t^8
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integral0^1l(484,t^10+9,t^8r),dt =484t^1111|0^1+9t^99|0^1 =44+1 =45

Passo 3

(b) Para
vec F(x,y,z)=sin(x),vec i+cos(y),vec j+xz,vec k
e
vec r(t)=lang<= t^3,,-t^2,;trang<=,;0<= t<=pi:
vec r,'(t)=lang<=3t^2,;-2t,;1rang<=, vec Fl(vec r(t)r) =lang<=sin(t^3),;cos(-t^2),;t^3cdot trang<= =lang<=sin(t^3),;cos(t^2),;t^4rang<=
O produto escalar dá
3t^2sin(t^3)-2tcos(t^2)+t^4,
então precisamos calcular
integral0^pil(3t^2sin(t^3)-2tcos(t^2)+t^4r),dt
Fazendo as substituições u=t^3 e v=t^2:
integral0^pi3t^2sin(t^3),dt =integral0^pi^3sin(u),du =-cos(u)|0^pi^3 =-cos(pi^3)+1,
integral0^pi-2tcos(t^2),dt =-integral0^pi^2cos(v),dv =-sin(v)|0^pi^2 =-sin(pi^2),
integral0^pit^4,dt =pi^55
Somando tudo:
-cos(pi^3)+1;-;sin(pi^2);+;pi^55

Resposta

(a) 45
(b) pi^55+1-cos(pi^3)-sin(pi^2)

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