Questão 3 (6 pontos). Esboce a curva de nível
e
da função
.
Passo 1
O enunciado pede as curvas de nível para
e
da função
Isso é um problema de curvas de nível: para cada valor
devemos resolver
e ainda garantir que o radicando seja não-negativo.
Passo 2
Antes de tudo, identificamos o domínio de
pela condição
ou seja
Geometricamente, isso significa que todos os pontos
(x,y) estão entre e sobre as retas
y=pm x/2 .
Passo 3
Para
k=0 fazemos
Isso se fatora em
logo as soluções são as duas retas
justamente as fronteiras do domínio.
Passo 4
Para
k=2 temos
Dividindo ambos os lados por
4 , obtemos a forma padrão da hipérbole:
Essa é uma hipérbole de centro na origem, ramos abertos para a direita e para a esquerda, cujas assíntotas são
y=pm x/2 .
Passo 5
Resumindo o esboço:
- Para
, duas retas passando pela origem com declivek=0 .pm1/2 - Para
, uma hipérbole centrada na origem, ramos horizontais, aproximando-se das mesmas retask=2 .y=pm x/2