Questão 3 (6 pontos). Esboce a curva de nível k=0 e k=2 da função f(x, y)=raizx^2-4 y^2.

Passo 1

O enunciado pede as curvas de nível para k=0 e k=2 da função
f(x,y)=raizx^2-4y^2
Isso é um problema de curvas de nível: para cada valor k>=0 devemos resolver
raizx^2-4y^2=k
e ainda garantir que o radicando seja não-negativo.

Passo 2

Antes de tudo, identificamos o domínio de f pela condição
x^2-4y^2>=0,
ou seja
x^2>=4y^2 Long<=ftrightarrow l|yr|<=|x|2
Geometricamente, isso significa que todos os pontos (x,y) estão entre e sobre as retas y=pm x/2.

Passo 3

Para k=0 fazemos
raizx^2-4y^2=0 Longrightarrow x^2-4y^2=0
Isso se fatora em
(x-2y)(x+2y)=0,
logo as soluções são as duas retas
y=+x2 e y=-x2,
justamente as fronteiras do domínio.

Passo 4

Para k=2 temos
raizx^2-4y^2=2 Longrightarrow x^2-4y^2=4
Dividindo ambos os lados por 4, obtemos a forma padrão da hipérbole:
x^24-y^2=1
Essa é uma hipérbole de centro na origem, ramos abertos para a direita e para a esquerda, cujas assíntotas são y=pm x/2.

Passo 5

Resumindo o esboço:
  • Para k=0, duas retas passando pela origem com declive pm1/2.
  • Para k=2, uma hipérbole centrada na origem, ramos horizontais, aproximando-se das mesmas retas y=pm x/2.

Resposta

k=0:\quad duas retas y=pmx2
k=2:\quad hipérbole x^24-y^2=1

Exercícios relacionados