Determine, caso existam, as assíntotas verticais e horizontais do gráfico das seguintes funções
f(x)=x^2+x-2x^2-4 x+3

Passo 1

O enunciado pede as assíntotas verticais e horizontais da função
f(x)=x^2+x-2x^2-4x+3
Conteúdo: identificar descontinuidades do tipo infinito (assíntotas verticais) e comportamento quando xtopminfty (assíntotas horizontais). Vamos precisar fatorar numerador e denominador e calcular limites.

Passo 2

Fatoramos numerador e denominador para ver zeros comuns e pontos de descontinuidade:
x^2+x-2 = (x+2)(x-1), x^2-4x+3 = (x-1)(x-3)
Logo
f(x)=(x+2)(x-1)(x-1)(x-3)
O domínio é xmid xneq1,;xneq3.

Passo 3

Analisamos x=1. Como numerador e denominador se anulam, há descontinuidade removível (buraco), não assíntota. De fato, cancelando o fator comum:
f(x)=x+2x-3(xneq1,,xneq3),
e
limxto1f(x)=1+21-3=-tfrac32
é finito.

Passo 4

Analisamos x=3. Neste ponto o denominador zera mas o numerador vale (3+2)(3-1)=5cdot2=10neq0. Assim
limxto3^-f(x)=-infty e limxto3^+f(x)=+infty,
portanto existe assíntota vertical em
x=3

Passo 5

Para as assíntotas horizontais, calculamos o limite em +infty e -infty. Como numerador e denominador têm mesmo grau,
limxtopminftyf(x) =coeficiente de x^2coeficiente de x^2 =11=1
Logo há assíntota horizontal em
y=1

Resposta

Assíntota vertical: x=3.
Assíntota horizontal: y=1.

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