(m1) integralpi / 6^pi / 3 sec ^2 t tan t d t

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral definida integralpi/6^pi/3 sec^2 t,tan t,dt. O conteúdo principal é integração por substituição, aproveitando que conhecemos a derivada de tan t.

Passo 2

Observando que dfracddt(tan t)=sec^2 t, fazemos a substituição u=tan t. Assim, du=sec^2 t,dt. Nos limites de integração: quando t=pi/6, u=tan(pi/6)=1/raiz3; e quando t=pi/3, u=tan(pi/3)=raiz3.

Passo 3

Reescrevendo a integral em u, temos
integralpi/6^pi/3 sec^2 t,tan t,dt = integral1/raiz3^raiz3 u,du
Agora aplicamos a regra de potência:
integral u,du = u^22

Passo 4

Retornando à variável t e avaliando nos limites:
tan^2 t2|pi/6^pi/3 = 12l(tan^2(pi/3)-tan^2(pi/6)r) = 12l(3 - 13r) = 43

Resposta

4/3

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