Encontre c in[a, b] tal que (b-a) f(c)=integrala^b f(x) d x, para:
(a) f(x)=4 raizx,[a, b]=[1,8]

Passo 1

O enunciado pede encontrar um ponto c in[1,8] tal que (b-a)f(c)=integrala^b f(x),dx. Aqui f(x)=4raizx e [a,b]=[1,8]. Isso é aplicação do Teorema do Valor Médio para integrais: primeiro calculamos a integral e depois igualamos a (b-a)f(c).

Passo 2

Calculamos a integral de f de 1 a 8:
integral1^84raizx,dx=4integral1^8x^1/2,dx=4[23x^3/2]1^8=83l(8^3/2-1r)

Passo 3

Como b-a=8-1=7, a média de f é
f(c)=17integral1^84raizx,dx=17cdot83l(8^3/2-1r)=821l(8^3/2-1r)

Passo 4

Igualando a f(c) à expressão acima:
4raizc=821l(8^3/2-1r),
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raizc=221l(8^3/2-1r)

Passo 5

Como 8^3/2=16raiz2, temos
raizc=2(16raiz2-1)21

Passo 6

Elevando ao quadrado obtenho
c=(2(16raiz2-1)21)^2=(2(16raiz2-1))^2441

Passo 7

Expandindo o numerador dá
c=2052-128raiz2441,
e numericamente capprox4.243, que está em [1,8].

Resposta

c=(2(16raiz2-1)21)^2

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