Verifique se falso ou verdadeiro, justificando a sua resposta.
Se
, então
.
Se
Passo 1
Ok, vamos lá! O enunciado diz: “Se $ z = f(x - y) $, então $ z_{x} - z_{y} = 0 $”. A gente vai usar conceitos de derivadas parciais para verificar se essa afirmação é verdadeira ou falsa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa $ z = f(x - y) $. Aqui, $ z $ é uma função que depende da diferença entre $ x $ e $ y $. Ou seja, $ z $ varia conforme a combinação de $ x $ e $ y $.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ z $ em relação a $ x $, que chamamos de $ z_{x} $. Como $ z = f(u) $ onde $ u = x - y $, usando a regra da cadeia, temos:
Passo 4
Em seguida, calculamos a derivada parcial de $ z $ em relação a $ y $, ou seja, $ z_{y} $. Novamente, aplicando a regra da cadeia:
Passo 5
Agora, vamos calcular $ z_{x} - z_{y} $:
Ou seja, $ z_{x} - z_{y} = 2f’(x - y) $, que em geral não é igual a zero, a menos que $ f’(x - y) = 0 $.
Resposta
A afirmação é falsa, pois $ z_{x} - z_{y} = 2f’(x - y) $, que não é igual a zero em geral.