Calcule a integral de linha
em que a curva C é dada pela parábola
do ponto
ao ponto
.
Passo 1
O problema pede para calcular a integral de linha
, onde a curva
é a parábola
do ponto
até
. O conteúdo aqui é integral de linha de um campo escalar em relação ao comprimento de arco, e vamos precisar parametrizar a curva, obter o elemento de comprimento
e substituir tudo na integral.
Passo 2
Para parametrizar a parábola, escolhemos
e
, com
variando de 0 a 1 (pois
dá
e
dá
). Calculamos as derivadas
e
. O elemento de comprimento de arco vem da fórmula
Passo 3
A parte escalar da integral é
. Substituindo
e
temos
Como
Passo 4
Agora juntamos tudo na integral em
:
Passo 5
Para resolver isso, usamos a substituição
, de modo que
. Quando
,
; quando
,
. A integral passa a ser
Passo 6
Integrando
, obtemos