Calcule a integral de linha integralC(9 x-raizy+4) d s em que a curva C é dada pela parábola y=x^2-4 do ponto (0,-4) ao ponto (1,-3).

Passo 1

O problema pede para calcular a integral de linha integralC(9x-raizy+4),ds, onde a curva C é a parábola y=x^2-4 do ponto (0,-4) até (1,-3). O conteúdo aqui é integral de linha de um campo escalar em relação ao comprimento de arco, e vamos precisar parametrizar a curva, obter o elemento de comprimento ds e substituir tudo na integral.

Passo 2

Para parametrizar a parábola, escolhemos x(t)=t e y(t)=t^2-4, com t variando de 0 a 1 (pois t=0 (0,-4) e t=1 (1,-3)). Calculamos as derivadas dx/dt=1 e dy/dt=2t. O elemento de comprimento de arco vem da fórmula
ds=raizl(dxdtr)^2+l(dydtr)^2,dt=raiz1+4t^2,dt

Passo 3

A parte escalar da integral é f(x,y)=9x-raizy+4. Substituindo x=t e y=t^2-4 temos
9t-raiz(t^2-4)+4=9t-raizt^2=9t-|t|
Como t vai de 0 a 1, temos |t|=t, logo f(t)=9t-t=8t.

Passo 4

Agora juntamos tudo na integral em t:
integralC(9x-raizy+4),ds=integral0^18traiz1+4t^2,dt

Passo 5

Para resolver isso, usamos a substituição u=1+4t^2, de modo que du=8t,dt. Quando t=0, u=1; quando t=1, u=5. A integral passa a ser
integral1^5u^1/2,du

Passo 6

Integrando u^1/2, obtemos
23u^3/2|1^5 = 23l(5^3/2-1^3/2r)=23(5raiz5-1)

Resposta

23(5raiz5-1)

Exercícios relacionados