Resolva o problema de valor inicial
. Depois encontre a solução tenda a zero quando
.
Passo 1
Neste exercício temos um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
, sujeita às condições
e
. Vamos usar a técnica da equação característica e depois aplicar as condições iniciais.
Passo 2
Formamos a equação característica substituindo
:
Resolvendo-a, obtemos as raízes
Passo 3
As raízes da equação característica são
isto é,
Passo 4
A solução geral da EDO homogênea é combinação linear das exponenciais associadas às raízes:
onde
Passo 5
Usando as condições iniciais: em
temos
para a derivada
então
Resolvendo o sistema
obtemos
Passo 6
Substituindo
e
na solução geral, chega-se a
Passo 7
Para que
quando
, é necessário anular o coeficiente de
, ou seja,
. Daí
.
Passo 8
Finalmente, com
, a solução que tende a zero é
$$y(t)=-2e^{-t}.
$$
Resposta
A solução geral do problema é
. Impor
quando
exige
, gerando a solução decrescente
.