Resolva o problema de valor inicial y^prime prime-y^prime-2 y=0, y(0)=alpha, y^prime(0)=2. Depois encontre a solução tenda a zero quando t infty.

Passo 1

Neste exercício temos um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes: y''-y'-2y=0, sujeita às condições y(0)=alpha e y'(0)=2. Vamos usar a técnica da equação característica e depois aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Formamos a equação característica substituindo y=e^rt:
r^2 - r - 2 = 0
Resolvendo-a, obtemos as raízes

Passo 3

As raízes da equação característica são
r = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32,
isto é, r1 = 2 e r2 = -1.

Passo 4

A solução geral da EDO homogênea é combinação linear das exponenciais associadas às raízes:
y(t) = C e^2t + D e^-t,
onde C e D são constantes a determinar.

Passo 5

Usando as condições iniciais: em t=0 temos
y(0)=C+D=alpha,
para a derivada
y'(t)=2C e^2t - D e^-t,
então
y'(0)=2C - D = 2
Resolvendo o sistema
C + D = alpha,2C - D = 2,
obtemos
C = alpha + 23, D = 2(alpha - 1)3

Passo 6

Substituindo C e D na solução geral, chega-se a
y(t)=alpha+23e^2t + 2(alpha-1)3e^-t

Passo 7

Para que y(t)to0 quando ttoinfty, é necessário anular o coeficiente de e^2t, ou seja, alpha+2=0. Daí alpha=-2.

Passo 8

Finalmente, com alpha=-2, a solução que tende a zero é
$$y(t)=-2e^{-t}.
$$

Resposta

A solução geral do problema é y(t)=tfracalpha+23e^2t+tfrac2(alpha-1)3e^-t. Impor y(t)to0 quando ttoinfty exige alpha=-2, gerando a solução decrescente y(t)=-2e^-t.

Exercícios relacionados