Calcule integralC x d x+z d y-y d z em que a curva C é o segmento de reta do ponto (1,1,1) ao ponto (0,-1,2).

Passo 1

Vamos resolver a integral de linha integralC x,dx + z,dy - y,dz ao longo do segmento de reta de (1,1,1) a (0,-1,2). O conteúdo é integrais de linha de formas diferenciais, e vamos precisar: (1) de uma parametrização r(t) de C; (2) de calcular dx,dy,dz; (3) de substituir na forma e integrar em t.

Passo 2

Parametrizamos o segmento unindo $ (1,1,1)$ a (1,1,1) por (0,-1,2)Isso garante r(t) = (1 - t,;1 - 2t,;1 + t), tin[0,1] e r(0)=(1,1,1).
Calculamos as diferenciais: de r(1)=(0,-1,2) temos x=1-t; de dx = -dt temos y=1-2t; de dy = -2,dt temos z=1+t.

Passo 3

Substituímos na forma x,dx + z,dy - y,dz. Em função de t:
x,dx + z,dy - y,dz = (1 - t)(-dt) + (1 + t)(-2,dt) - (1 - 2t)(dt)

Passo 4

Simplificamos o integrando:
(1 - t)(-1) + (1 + t)(-2) - (1 - 2t) = -1 + t -2 -2t -1 +2t = -4 + t

Passo 5

A integral fica
integral0^1(-4 + t),dt = l[-4t + tfract^22r]0^1 = -4 + tfrac12 = -tfrac72

Resposta

-7/2

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