Calcule a integral de linha integralC y^2 d x+x d y, em que a curva C é a fronteira do quadrado de vértices (-1,1),(1,1),(1,-1) e (-1,-1).

Passo 1

Beleza! A gente precisa calcular a integral de linha integralC y^2 , dx + x , dy, onde C é a fronteira de um quadrado com vértices em (-1,1), (1,1), (1,-1) e (-1,-1). Vamos usar conceitos de cálculo que envolvem integrais de linha e, para facilitar, vamos aplicar o Teorema de Green. Isso vai ajudar a transformar a integral de linha em uma integral dupla mais simples de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o Teorema de Green. Ele diz que, para uma curva fechada C que delimita uma região D, a integral de linha ointC P , dx + Q , dy pode ser transformada em uma integral dupla sobre D:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy
No nosso caso, P = y^2 e Q = x.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partial xpartial x = 1
partial Ppartial y = partial y^2partial y = 2y
Substituindo na fórmula do Teorema de Green:
integral duplaD ( 1 - 2y ) , dx , dy

Passo 4

Agora, vamos definir os limites de integração para a região D, que é um quadrado com lados de -1 a 1 tanto em x quanto em y. Assim, a integral dupla fica:
integral-1^1 integral-1^1 ( 1 - 2y ) , dy , dx

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a y:
integral-1^1 (1 - 2y) , dy = [ y - y^2 ]-1^1
Calculando nos limites:
[ (1 - 1) - (-1 - 1) ] = (0) - (-2) = 2

Passo 6

Agora, substituímos o resultado na integral externa:
integral-1^1 2 , dx = 2 times (1 - (-1)) = 2 times 2 = 4

Resposta

O valor da integral de linha é 4.

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