Calcule a integral de linha
, em que a curva
é a fronteira do quadrado de vértices
e
.
Passo 1
Beleza! A gente precisa calcular a integral de linha
, onde
é a fronteira de um quadrado com vértices em
,
,
e
. Vamos usar conceitos de cálculo que envolvem integrais de linha e, para facilitar, vamos aplicar o Teorema de Green. Isso vai ajudar a transformar a integral de linha em uma integral dupla mais simples de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o Teorema de Green. Ele diz que, para uma curva fechada
que delimita uma região
, a integral de linha
pode ser transformada em uma integral dupla sobre
:
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na fórmula do Teorema de Green:
Passo 4
Agora, vamos definir os limites de integração para a região
, que é um quadrado com lados de
a
tanto em
quanto em
. Assim, a integral dupla fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Calculando nos limites:
Passo 6
Agora, substituímos o resultado na integral externa:
Resposta
O valor da integral de linha é
.