Encontre o valor das integrais duplas abaixo no retângulo R=[0,1] times[0,1] :
b) integral duplaR y e^x y d A

Passo 1

A questão pede para calcular a integral dupla da função f(x,y)=y e^xy sobre o retângulo R=[0,1]times[0,1]. O conteúdo é cálculo de integrais iteradas e vamos precisar usar integração em uma variável de forma iterada.

Passo 2

Escrevemos a integral dupla como iterada escolhendo primeiro integrar em x:
integral duplaR y e^xy,dA = integraly=0^1l(integralx=0^1 y e^xy,dxr) dy
Para integrar em x, lembramos que ddxe^xy=y e^xy.

Passo 3

Calculamos a integral interna em x:
integral0^1 y e^xy,dx = l[e^xyr]x=0^x=1 = e^y - e^0 = e^y - 1

Passo 4

Agora integramos em y:
integral0^1 (e^y - 1),dy = integral0^1 e^y dy - integral0^11,dy = l[e^yr]0^1 - l[yr]0^1 = (e-1) - 1 = e - 2

Resposta

e - 2

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