Considere o campo vetorial
F(x, y)=(1+y e^x y) i+(2 y+x e^x y) j
Determine se F é ou não conservativo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o campo vetorial F(x, y)=(1+y e^x y) i+(2 y+x e^x y) j é conservativo ou não. Isso está relacionado ao estudo de campos vetoriais na matéria de Cálculo Vetorial. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um campo vetorial ser conservativo e quais são os critérios para identificar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um campo vetorial conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial phi(x, y) tal que F = nabla phi. Isso significa que as componentes de F são as derivadas parciais de phi. Uma condição necessária para que isso seja verdade é que as derivadas mistas sejam iguais, ou seja:
partial Ppartial y = partial Qpartial x
Aqui, P(x, y) é a primeira componente de F e Q(x, y) é a segunda componente.

Passo 3

Vamos identificar P e Q no nosso campo vetorial:
P(x, y) = 1 + y e^x y
Q(x, y) = 2 y + x e^x y
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 4

Primeiro, calculamos partial Ppartial y:
partial Ppartial y = partialpartial y (1 + y e^x y)
Para derivar y e^x y em relação a y, aplicamos a regra do produto:
partialpartial y (y e^x y) = e^x y + y cdot x e^x y = e^x y (1 + x y)
Então,
partial Ppartial y = e^x y (1 + x y)

Passo 5

Agora, vamos calcular partial Qpartial x:
partial Qpartial x = partialpartial x (2 y + x e^x y)
Derivando x e^x y em relação a x, usamos novamente a regra do produto:
partialpartial x (x e^x y) = e^x y + x cdot y e^x y = e^x y (1 + x y)
Portanto,
partial Qpartial x = e^x y (1 + x y)

Passo 6

Agora que temos:
partial Ppartial y = e^x y (1 + x y)
partial Qpartial x = e^x y (1 + x y)
Vemos que partial Ppartial y = partial Qpartial x. Isso satisfaz a condição necessária para que o campo vetorial seja conservativo.

Resposta

O campo vetorial F é conservativo.

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