Considere o campo vetorial
Determine se
é ou não conservativo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o campo vetorial
é conservativo ou não. Isso está relacionado ao estudo de campos vetoriais na matéria de Cálculo Vetorial. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um campo vetorial ser conservativo e quais são os critérios para identificar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um campo vetorial conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial
tal que
. Isso significa que as componentes de
são as derivadas parciais de
. Uma condição necessária para que isso seja verdade é que as derivadas mistas sejam iguais, ou seja:
Aqui,
é a primeira componente de
e
é a segunda componente.
Passo 3
Vamos identificar
e
no nosso campo vetorial:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 4
Primeiro, calculamos
:
Para derivar
em relação a
, aplicamos a regra do produto:
Então,
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
Derivando
em relação a
, usamos novamente a regra do produto:
Portanto,
Passo 6
Agora que temos:
Vemos que
. Isso satisfaz a condição necessária para que o campo vetorial seja conservativo.
Resposta
O campo vetorial
é conservativo.