Considere o campo vetorial
O campo
é conservativo? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta um campo vetorial
e pede para saber se esse campo é conservativo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo na matemática, especialmente em cálculo vetorial. Vamos precisar verificar algumas condições envolvendo derivadas parciais para chegar à resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes do nosso campo vetorial
. Ele está dado por:
Aqui, podemos identificar
e
.
Passo 3
Agora, para verificar se o campo
é conservativo, precisamos usar um critério básico de campos vetoriais em duas dimensões. Um campo vetorial
é conservativo se e somente se as seguintes condições forem satisfeitas:
- As derivadas parciais de
em relação a e de em relação a são iguais, ou seja:
- O domínio do campo é simplesmente conexo (não possui “furos” ou buracos).
Vamos calcular essas derivadas.
Passo 4
Primeiro, calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Em seguida, calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Agora, comparamos as duas derivadas parciais que calculamos:
Percebemos que:
Passo 6
Como as derivadas parciais são iguais e assumindo que o domínio onde o campo
está definido é simplesmente conexo (o que geralmente é o caso aqui, já que
e
são positivos devido aos logaritmos e divisões envolvidas), podemos concluir que o campo vetorial
é conservativo.
Resposta
Sim, o campo
é conservativo porque as derivadas parciais
e
são iguais.