Considere o campo vetorial
F(x, y)=(e^x ln (y)-e^y / x) i+(e^x / y-e^y ln (x)) j
O campo F é conservativo? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta um campo vetorial F(x, y) e pede para saber se esse campo é conservativo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo na matemática, especialmente em cálculo vetorial. Vamos precisar verificar algumas condições envolvendo derivadas parciais para chegar à resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes do nosso campo vetorial F. Ele está dado por:
F(x, y) = (e^x ln (y) - e^yx) i + (e^xy - e^y ln (x)) j
Aqui, podemos identificar P(x, y) = e^x ln (y) - e^yx e Q(x, y) = e^xy - e^y ln (x).

Passo 3

Agora, para verificar se o campo F é conservativo, precisamos usar um critério básico de campos vetoriais em duas dimensões. Um campo vetorial F = P i + Q j é conservativo se e somente se as seguintes condições forem satisfeitas:
  1. As derivadas parciais de Q em relação a x e de P em relação a y são iguais, ou seja:
partial Qpartial x = partial Ppartial y
  1. O domínio do campo é simplesmente conexo (não possui “furos” ou buracos).
Vamos calcular essas derivadas.

Passo 4

Primeiro, calculamos a derivada parcial de Q em relação a x:
Q = e^xy - e^y ln (x)
partial Qpartial x = e^xy - e^y cdot 1x
Em seguida, calculamos a derivada parcial de P em relação a y:
P = e^x ln (y) - e^yx
partial Ppartial y = e^x cdot 1y - e^yx

Passo 5

Agora, comparamos as duas derivadas parciais que calculamos:
partial Qpartial x = e^xy - e^yx
partial Ppartial y = e^xy - e^yx
Percebemos que:
partial Qpartial x = partial Ppartial y

Passo 6

Como as derivadas parciais são iguais e assumindo que o domínio onde o campo F está definido é simplesmente conexo (o que geralmente é o caso aqui, já que x e y são positivos devido aos logaritmos e divisões envolvidas), podemos concluir que o campo vetorial F é conservativo.

Resposta

Sim, o campo F é conservativo porque as derivadas parciais partial Qpartial x e partial Ppartial y são iguais.

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