Calcule a integral de linha integralC y^2 d x+x d y
onde C é a parte da circunferência de raio 3 que está localizada nos primeiro e segundo quadrantes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha integralC y^2 , dx + x , dy, onde C é uma parte da circunferência de raio 3 que está nos primeiro e segundo quadrantes.
Aqui, estamos lidando com Cálculo Integral na área de Cálculo Vetorial ou Análise Vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma integral de linha e como parametrizar uma curva circular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, ela permite somar valores ao longo de uma curva. No nosso caso, a curva C é parte de uma circunferência de raio 3 nos primeiro e segundo quadrantes.
Para parametrizar essa circunferência, usamos coordenadas polares. A equação geral de uma circunferência com raio r é x = r cos(theta) e y = r sin(theta). Aqui, r = 3.

Passo 3

Como queremos apenas a parte nos primeiro e segundo quadrantes, precisamos determinar os valores de theta que correspondem a esses quadrantes.
  • No primeiro quadrante, theta varia de 0 a pi2.
  • No segundo quadrante, theta varia de pi2 a pi.
Então, nosso intervalo para theta será de 0 a pi.

Passo 4

Agora, vamos expressar x e y em termos de theta:
x = 3 cos(theta)
y = 3 sin(theta)
Também precisamos encontrar dx e dy, que são as derivadas de x e y em relação a theta:
dx = ddtheta(3 cos(theta)) , dtheta = -3 sin(theta) , dtheta
dy = ddtheta(3 sin(theta)) , dtheta = 3 cos(theta) , dtheta

Passo 5

Vamos substituir x, y, dx e dy na integral original:
integralC y^2 , dx + x , dy = integral0^pi (3 sin(theta))^2 (-3 sin(theta)) , dtheta + integral0^pi 3 cos(theta) cdot 3 cos(theta) , dtheta
Simplificando:
= integral0^pi 9 sin^2(theta) (-3 sin(theta)) , dtheta + integral0^pi 9 cos^2(theta) , dtheta
= -27 integral0^pi sin^3(theta) , dtheta + 9 integral0^pi cos^2(theta) , dtheta

Passo 6

Vamos resolver cada integral separadamente. Primeiro, a integral de sin^3(theta):
Sabemos que sin^3(theta) pode ser integrada usando identidade trigonométrica ou substituição. Usaremos substituição:
integral sin^3(theta) , dtheta = integral sin^2(theta) sin(theta) , dtheta
Sabendo que sin^2(theta) = 1 - cos^2(theta), temos:
= integral (1 - cos^2(theta)) sin(theta) , dtheta
Let u = cos(theta), então du = -sin(theta) , dtheta:
= -integral (1 - u^2) , du = -( u - u^33 ) + C = -cos(theta) + cos^3(theta)3 + C
Agora, aplicando os limites de 0 a pi:
-27 [ -cos(theta) + cos^3(theta)3 ]0^pi
Calculando em pi:
-cos(pi) + cos^3(pi)3 = -(-1) + (-1)^33 = 1 - 13 = 23
Em 0:
-cos(0) + cos^3(0)3 = -(1) + 13 = -23
Portanto:
-27 ( 23 - (-23) ) = -27 ( 43 ) = -36

Passo 7

Agora, a segunda integral: 9 integral0^pi cos^2(theta) , dtheta.
Usamos a identidade trigonométrica:
cos^2(theta) = 1 + cos(2theta)2
Então:
9 integral0^pi 1 + cos(2theta)2 , dtheta = 92 integral0^pi (1 + cos(2theta)) , dtheta
Integrando:
= 92 [ theta + sin(2theta)2 ]0^pi
Calculando em pi:
pi + sin(2pi)2 = pi + 0 = pi
Em 0:
0 + sin(0)2 = 0
Portanto:
92 (pi - 0) = 9pi2

Resposta

Somando os resultados das duas integrais:
-36 + 9pi2
Então, o valor da integral de linha é:
integralC y^2 , dx + x , dy = -36 + 9pi2

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