Calcule a integral de linha
onde C é a parte da circunferência de raio 3 que está localizada nos primeiro e segundo quadrantes.
onde C é a parte da circunferência de raio 3 que está localizada nos primeiro e segundo quadrantes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha
, onde
é uma parte da circunferência de raio 3 que está nos primeiro e segundo quadrantes.
Aqui, estamos lidando com Cálculo Integral na área de Cálculo Vetorial ou Análise Vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma integral de linha e como parametrizar uma curva circular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, ela permite somar valores ao longo de uma curva. No nosso caso, a curva
é parte de uma circunferência de raio 3 nos primeiro e segundo quadrantes.
Para parametrizar essa circunferência, usamos coordenadas polares. A equação geral de uma circunferência com raio
é
e
. Aqui,
.
Passo 3
Como queremos apenas a parte nos primeiro e segundo quadrantes, precisamos determinar os valores de
que correspondem a esses quadrantes.
- No primeiro quadrante,
varia de a . - No segundo quadrante,
varia de a .
Então, nosso intervalo para
será de
a
.
Passo 4
Agora, vamos expressar
e
em termos de
:
Também precisamos encontrar
e
, que são as derivadas de
e
em relação a
:
Passo 5
Vamos substituir
,
,
e
na integral original:
Simplificando:
Passo 6
Vamos resolver cada integral separadamente. Primeiro, a integral de
:
Sabemos que
pode ser integrada usando identidade trigonométrica ou substituição. Usaremos substituição:
Sabendo que
, temos:
Let
, então
:
Agora, aplicando os limites de
a
:
Calculando em
:
Em
:
Portanto:
Passo 7
Agora, a segunda integral:
.
Usamos a identidade trigonométrica:
Então:
Integrando:
Calculando em
:
Em
:
Portanto:
Resposta
Somando os resultados das duas integrais:
Então, o valor da integral de linha é: