Os dois catetos de um triângulo retângulo medem 5 m e 12 m com um erro possível nas medidas de, no máximo,
em cada. Utilize diferenciais para estimar o erro máximo no cálculo (a) da área do triângulo e (b) do comprimento da hipotenusa.
Passo 1
O enunciado pede estimar o erro máximo na (a) área e (b) comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos medem a = 5 m e b = 12 m, admitindo erro de até 0,2 cm em cada medida. O conteúdo envolve o uso de diferenciais (aproximação linear) para funções de duas variáveis.
Passo 2
Antes de aplicar as fórmulas, convertemos o erro de 0,2 cm para metros: 0,2 cm = 0,002 m. Lembrando que, para uma função f(x,y), a variação aproximada é dada por df = f_x dx + f_y dy, onde f_x e f_y são as derivadas parciais.
Passo 3
Para a área A dos catetos usamos
As derivadas parciais são
Então a diferencial da área é
Logo o erro máximo em A é aproximadamente 0,017 m².
Passo 4
Para o comprimento da hipotenusa c = √(a² + b²) temos
com derivadas parciais
e c(5,12) = 13. Então
Assim o erro máximo no cálculo de c é cerca de 0,0026 m.
Resposta
Erro máximo na área ≈ 0,017 m²; erro máximo na hipotenusa ≈ 0,0026 m.