Os dois catetos de um triângulo retângulo medem 5 m e 12 m com um erro possível nas medidas de, no máximo, 0,2 cm em cada. Utilize diferenciais para estimar o erro máximo no cálculo (a) da área do triângulo e (b) do comprimento da hipotenusa.

Passo 1

O enunciado pede estimar o erro máximo na (a) área e (b) comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos medem a = 5 m e b = 12 m, admitindo erro de até 0,2 cm em cada medida. O conteúdo envolve o uso de diferenciais (aproximação linear) para funções de duas variáveis.

Passo 2

Antes de aplicar as fórmulas, convertemos o erro de 0,2 cm para metros: 0,2 cm = 0,002 m. Lembrando que, para uma função f(x,y), a variação aproximada é dada por df = f_x dx + f_y dy, onde f_x e f_y são as derivadas parciais.

Passo 3

Para a área A dos catetos usamos
A = 12,a,b
As derivadas parciais são
partial Apartial a = b2 = 6, partial Apartial b = a2 = 2,5
Então a diferencial da área é
dA approx b2,da + a2,db = 6,(0,002) + 2,5,(0,002) = 0,012 + 0,005 = 0,017 m^2
Logo o erro máximo em A é aproximadamente 0,017 m².

Passo 4

Para o comprimento da hipotenusa c = √(a² + b²) temos
c = raiza^2 + b^2,
com derivadas parciais
partial cpartial a = a c, partial cpartial b = b c,
e c(5,12) = 13. Então
dc approx a,da + b,dbc = 5,(0,002) + 12,(0,002)13 = 0,03413 approx 0,002615 m
Assim o erro máximo no cálculo de c é cerca de 0,0026 m.

Resposta

Erro máximo na área ≈ 0,017 m²; erro máximo na hipotenusa ≈ 0,0026 m.

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