Calcule a integral de linha integralC y^2 d x+x d y
onde C é o segmento de reta de (-4,-2)(0,3).

Passo 1

Vamos resolver a integral de linha integralC y^2 dx + x dy. O enunciado nos pede para calcular essa integral ao longo do segmento de reta que vai do ponto (-4, -2) até o ponto (0, 3). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais de linha, especificamente a parametrização de uma curva reta.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar a reta C que vai de (-4, -2) até (0, 3). Parametrizar significa expressar as coordenadas x e y em função de um parâmetro, geralmente chamado de t, que varia de 0 a 1.

Passo 3

Vamos definir a parametrização da seguinte forma:
x(t) = x0 + t(x1 - x0)
y(t) = y0 + t(y1 - y0)
Onde (x0, y0) = (-4, -2) e (x1, y1) = (0, 3). Substituindo:
x(t) = -4 + t(0 - (-4)) = -4 + 4t
y(t) = -2 + t(3 - (-2)) = -2 + 5t
Então, t varia de 0 a 1.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar as derivadas de x(t) e y(t) em relação a t, que são dx/dt e dy/dt:
dxdt = 4
dydt = 5

Passo 5

Vamos substituir tudo na integral de linha. A integral integralC y^2 dx + x dy se torna:
integral0^1 [ (y(t))^2 cdot dxdt + x(t) cdot dydt ] dt
Substituindo x(t), y(t), dx/dt e dy/dt:
integral0^1 [ (-2 + 5t)^2 cdot 4 + (-4 + 4t) cdot 5 ] dt

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
(-2 + 5t)^2 = 4 - 20t + 25t^2
Multiplicando por 4:
4 cdot (4 - 20t + 25t^2) = 16 - 80t + 100t^2
E:
(-4 + 4t) cdot 5 = -20 + 20t
Somando as duas partes:
16 - 80t + 100t^2 - 20 + 20t = -4 - 60t + 100t^2

Passo 7

Agora, a integral fica:
integral0^1 (-4 - 60t + 100t^2) dt
Vamos integrar cada termo separadamente:
integral0^1 -4 dt = -4t |0^1 = -4
integral0^1 -60t dt = -60 cdot t^22 |0^1 = -30
integral0^1 100t^2 dt = 100 cdot t^33 |0^1 = 1003
Somando tudo:
-4 - 30 + 1003 = -34 + 1003 = -102 + 1003 = -23

Resposta

O valor da integral de linha é -dfrac23.

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