Considere o campo vetorial F(x, y, z)=x^2 z i+y^2 z j+(x^2-y^2) k.
Verifique se o campo vetorial F é conservativo e justifique sua resposta.( 1,0 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se o campo vetorial F(x, y, z)=x^2 z i+y^2 z j+(x^2-y^2) k é conservativo. Isso está relacionado com o conteúdo de Campos Vetoriais e especificamente com Campos Conservativos. Para resolver isso, a gente precisa calcular o rotacional do campo F e verificar se ele é igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por nabla times F, nos diz como o campo gira em torno de cada ponto. Se o rotacional for zero em todo o espaço considerado, então o campo é conservativo.
A fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas é:
nabla times F = ( partial Fkpartial y - partial Fjpartial z ) i + ( partial Fipartial z - partial Fkpartial x ) j + ( partial Fjpartial x - partial Fipartial y ) k
Onde F = Fi i + Fj j + Fk k.

Passo 3

Vamos identificar os componentes do nosso campo F:
  • Fi = x^2 z
  • Fj = y^2 z
  • Fk = x^2 - y^2
Agora, vamos calcular cada componente do rotacional:
  1. Componente i:
    partial Fkpartial y - partial Fjpartial z = partial (x^2 - y^2)partial y - partial (y^2 z)partial z = (-2y) - (y^2) = -2y - y^2
  2. Componente j:
    partial Fipartial z - partial Fkpartial x = partial (x^2 z)partial z - partial (x^2 - y^2)partial x = x^2 - (2x) = x^2 - 2x
  3. Componente k:
    partial Fjpartial x - partial Fipartial y = partial (y^2 z)partial x - partial (x^2 z)partial y = 0 - 0 = 0
Então, o rotacional fica:
nabla times F = (-2y - y^2) i + (x^2 - 2x) j + 0 k

Passo 4

Agora, vamos analisar o resultado do rotacional. Para o campo ser conservativo, todas as componentes do rotacional precisam ser iguais a zero.
O rotacional que obtivemos é:
nabla times F = (-2y - y^2) i + (x^2 - 2x) j + 0 k
Vemos que as componentes i e j não são zero a menos que y = 0 e x = 0, respectivamente. Como não podemos garantir que isso ocorra para todos os pontos do espaço, concluímos que o rotacional de F não é zero em geral.

Resposta

Como o rotacional de F não é zero em geral, o campo vetorial F não é conservativo.

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