Considere o campo vetorial
.
Verifique se o campo vetorial
é conservativo e justifique sua resposta.( 1,0 ponto)
Verifique se o campo vetorial
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se o campo vetorial
é conservativo. Isso está relacionado com o conteúdo de Campos Vetoriais e especificamente com Campos Conservativos. Para resolver isso, a gente precisa calcular o rotacional do campo
e verificar se ele é igual a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por
, nos diz como o campo gira em torno de cada ponto. Se o rotacional for zero em todo o espaço considerado, então o campo é conservativo.
A fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas é:
Onde
.
Passo 3
Vamos identificar os componentes do nosso campo
:
Agora, vamos calcular cada componente do rotacional:
-
Componente
: -
Componente
: -
Componente
:
Então, o rotacional fica:
Passo 4
Agora, vamos analisar o resultado do rotacional. Para o campo ser conservativo, todas as componentes do rotacional precisam ser iguais a zero.
O rotacional que obtivemos é:
Vemos que as componentes
e
não são zero a menos que
e
, respectivamente. Como não podemos garantir que isso ocorra para todos os pontos do espaço, concluímos que o rotacional de
não é zero em geral.
Resposta
Como o rotacional de
não é zero em geral, o campo vetorial
não é conservativo.