Verificar, através da definição, a continuidade ou descontinuidade (em x=-1) da função: f(x)=llx^3+1x+1, & se x<-1 2, & se x=-1 x^2-1x+1, & se x>-1

Passo 1

A questão define a função por partes
f(x)= x^3+1x+1, & x<-1, 2, & x=-1, x^2-1x+1, & x>-1,
easí que precisamos verificar a continuidade em x=-1 usando a definição: a função é contínua em x=-1 se, e somente se,
limxto -1^-f(x)=limxto -1^+f(x)=f(-1)

Passo 2

Para calcular o limite à esquerda, simplificamos a expressão de x<-1:
x^3+1x+1=(x+1)(x^2 - x +1)x+1=x^2 - x +1(xneq -1)
Logo,
limxto -1^-f(x)=(-1)^2 -(-1)+1=1+1+1=3

Passo 3

Para o limite à direita, simplificamos a expressão de x>-1:
x^2-1x+1=(x-1)(x+1)x+1=x-1(xneq -1)
Assim,
limxto -1^+f(x)=(-1)-1=-2

Passo 4

Os limites laterais são diferentes ( 3 e -2), portanto
limxto -1f(x)
ne existe e não pode igualar f(-1)=2. Isso mostra que a função é descontínua em x=-1.

Resposta

A função é descontínua em x = -1, pois os limites laterais são diferentes (3 e –2) e, portanto, não existe limite em –1.

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