Calcule a integral de linha onde é a curva parametrizada por e , com . Calcule a integral de linha usando:
a) A parametrização de .
b) O Teorema Fundamental para integrais de linha.
c) O Teorema de Green.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha onde a curva é dada por e , para de 1 a 2. Vamos usar três métodos diferentes:
a) Usando a parametrização da curva.
b) Usando o Teorema Fundamental para integrais de linha.
c) Usando o Teorema de Green.
Pra isso, vamos precisar entender como parametrizar curvas, como aplicar o teorema fundamental e o teorema de Green em integrais de linha.
Passo 2
a) Usando a parametrização da curva
Primeiro, vamos parametrizar a curva . Como e , com , já temos a parametrização pronta:
Agora, precisamos expressar e em termos de . Derivando e em relação a :
Então,
Agora, substituímos tudo na integral:
Simplificando:
Integrando termo a termo:
Calculando de 1 a 2:
( 643 + 83 ) - ( 13 + 13 ) = 723 - 23 = 703
Passo 3
b) Usando o Teorema Fundamental para integrais de linha
Para aplicar o Teorema Fundamental, precisamos verificar se o campo vetorial F = lang<= y^2, x rang<= é conservativo, ou seja, se existe uma função potencial f tal que F = nabla f.
Primeiro, calculamos as derivadas parciais:
partial fpartial x = y^2 e partial fpartial y = x
Integrando partial fpartial x = y^2 em relação a x:
f(x, y) = y^2x + g(y)
Agora, derivamos f em relação a y:
partial fpartial y = 2y x + g'(y) = x
Igualando:
2y x + g'(y) = x Rightarrow g'(y) = x(1 - 2y)
Mas isso não faz sentido porque g'(y) deveria depender apenas de y. Portanto, F não é conservativo e não podemos usar o Teorema Fundamental aqui.
Passo 4
c) Usando o Teorema de Green
O Teorema de Green relaciona uma integral de linha sobre uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por ela. No entanto, nossa curva C vai de t=1 a t=2, ou seja, não é fechada. Para aplicar o Teorema de Green, precisamos fechar a curva.
Vamos fechar C adicionando o caminho C' que vai de (4,2) a (1,1), por exemplo, ao longo de uma linha reta. Agora, a curva fechada Cfechada = C + C'.
Aplicando o Teorema de Green:
ointCfechada y^2 , dx + x , dy = integral duplaD ( partial xpartial x - partial y^2partial y ) dA
Calculando as derivadas:
partial xpartial x = 1 e partial y^2partial y = 2y
Então:
integral duplaD (1 - 2y) , dA
Agora, como não conhecemos a região D, e a curva C não é fechada inicialmente, fica complicado aplicar o Teorema de Green diretamente. Portanto, nesse caso específico, o Teorema de Green não facilita o cálculo da integral de linha.
Resposta
A integral de linha integralC y^2 , dx + x , dy calculada pela parametrização da curva C é igual a 703.