Calcule a integral de linha integralC y^2 d x+x d y onde C é a curva parametrizada por x=t^2 e y=t, com 1 <= t <= 2. Calcule a integral de linha usando:
a) A parametrização de C.
b) O Teorema Fundamental para integrais de linha.
c) O Teorema de Green.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha integralC y^2 , dx + x , dy onde a curva C é dada por x = t^2 e y = t, para t de 1 a 2. Vamos usar três métodos diferentes:
a) Usando a parametrização da curva.
b) Usando o Teorema Fundamental para integrais de linha.
c) Usando o Teorema de Green.
Pra isso, vamos precisar entender como parametrizar curvas, como aplicar o teorema fundamental e o teorema de Green em integrais de linha.

Passo 2

a) Usando a parametrização da curva
Primeiro, vamos parametrizar a curva C. Como x = t^2 e y = t, com 1 <= t <= 2, já temos a parametrização pronta:
r(t) = lang<= t^2, t rang<=
Agora, precisamos expressar dx e dy em termos de dt. Derivando x e y em relação a t:
dxdt = 2t e dydt = 1
Então,
dx = 2t , dt e dy = 1 , dt
Agora, substituímos tudo na integral:
integralC y^2 , dx + x , dy = integral1^2 (t^2)^2 cdot 2t , dt + t^2 cdot 1 , dt
Simplificando:
integral1^2 2t^5 + t^2 , dt
Integrando termo a termo:
2 cdot t^66 + t^33 gr|1^2 = t^63 + t^33 gr|1^2
Calculando de 1 a 2:
( 643 + 83 ) - ( 13 + 13 ) = 723 - 23 = 703

Passo 3

b) Usando o Teorema Fundamental para integrais de linha
Para aplicar o Teorema Fundamental, precisamos verificar se o campo vetorial F = lang<= y^2, x rang<= é conservativo, ou seja, se existe uma função potencial f tal que F = nabla f.
Primeiro, calculamos as derivadas parciais:
partial fpartial x = y^2 e partial fpartial y = x
Integrando partial fpartial x = y^2 em relação a x:
f(x, y) = y^2x + g(y)
Agora, derivamos f em relação a y:
partial fpartial y = 2y x + g'(y) = x
Igualando:
2y x + g'(y) = x Rightarrow g'(y) = x(1 - 2y)
Mas isso não faz sentido porque g'(y) deveria depender apenas de y. Portanto, F não é conservativo e não podemos usar o Teorema Fundamental aqui.

Passo 4

c) Usando o Teorema de Green
O Teorema de Green relaciona uma integral de linha sobre uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por ela. No entanto, nossa curva C vai de t=1 a t=2, ou seja, não é fechada. Para aplicar o Teorema de Green, precisamos fechar a curva.
Vamos fechar C adicionando o caminho C' que vai de (4,2) a (1,1), por exemplo, ao longo de uma linha reta. Agora, a curva fechada Cfechada = C + C'.
Aplicando o Teorema de Green:
ointCfechada y^2 , dx + x , dy = integral duplaD ( partial xpartial x - partial y^2partial y ) dA
Calculando as derivadas:
partial xpartial x = 1 e partial y^2partial y = 2y
Então:
integral duplaD (1 - 2y) , dA
Agora, como não conhecemos a região D, e a curva C não é fechada inicialmente, fica complicado aplicar o Teorema de Green diretamente. Portanto, nesse caso específico, o Teorema de Green não facilita o cálculo da integral de linha.

Resposta

A integral de linha integralC y^2 , dx + x , dy calculada pela parametrização da curva C é igual a 703.

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