Calcule a integral usando coordenadas cilíndricas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral tripla usando coordenadas cilíndricas. A integral é:
Aqui, estamos lidando com cálculo em coordenadas cartesianas, mas vamos transformar para coordenadas cilíndricas para facilitar a resolução. Para isso, vamos precisar entender a relação entre as coordenadas cartesianas e as cilíndricas :
Além disso, o diferencial de volume em coordenadas cilíndricas é dado por $ r , dr , d\theta , dz $. Vamos usar isso para reescrever nossa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites de integração e a região que estamos integrando. Observando a integral original:
x in [0, 3], y in [0, raiz9 - x^2], z in [0, 4]
Essa região descreve um semicírculo no plano xy (pois y >= 0 e x vai de 0 a 3, com y limitado por raiz9 - x^2) e se estende de z = 0 a z = 4.
Em coordenadas cilíndricas, r vai de 0 ao raio máximo do semicírculo, que é 3, theta vai de 0 a pi2 (já que x e y são positivos) e z vai de 0 a 4.
Então, os novos limites são:
r in [0, 3], theta in [0, pi2], z in [0, 4]
Passo 3
Agora, vamos reescrever a integral original em coordenadas cilíndricas. Sabemos que:
raizx^2 + y^2 = r
E o diferencial de volume em coordenadas cilíndricas é:
dV = r , dr , dtheta , dz
Substituindo na integral, temos:
integral0^4 integral0^pi2 integral0^3 r cdot r , dr , dtheta , dz = integral0^4 integral0^pi2 integral0^3 r^2 , dr , dtheta , dz
Passo 4
Vamos agora resolver a integral mais interna, que é em relação a r:
integral0^3 r^2 , dr
A integral de r^2 em relação a r é:
r^33 |0^3 = 3^33 - 0^33 = 273 = 9
Então, após integrar em r, a expressão fica:
integral0^4 integral0^pi2 9 , dtheta , dz
Passo 5
Agora, vamos integrar em relação a theta:
integral0^pi2 9 , dtheta
A integral de uma constante em relação a theta é a constante multiplicada por theta:
9 theta |0^pi2 = 9 cdot pi2 - 9 cdot 0 = 9pi2
Após essa integração, temos:
integral0^4 9pi2 , dz
Passo 6
Por fim, vamos integrar em relação a z:
integral0^4 9pi2 , dz
Novamente, a integral de uma constante em relação a z é a constante multiplicada por z: