Uma curva
é definida pelas equações paramétricas
Determine onde a curva sobe e desce e onde sua concavidade é para cima ou para baixo.
Passo 1
O enunciado pede onde a curva definida por
,
sobe/ desce e sua concavidade. O conteúdo aqui é cálculo de derivadas em curvas paramétricas: vamos precisar de
para monotonia e
para concavidade.
Passo 2
Calculemos primeiro
e
:
A partir daí,
Passo 3
Para ver onde a curva sobe (
) ou desce (
), analisamos o sinal de
. As raízes/nulos ocorrem em
e há singularidade em
. Em cada intervalo:
-
: numerador , denominador → (desce). -
: numerador , denominador → (sobe). -
: numerador , denominador → (desce). -
: numerador , denominador → (sobe).
Passo 4
Agora a segunda derivada. Primeiro escrevemos
. Derivando em relação a
:
Então
Passo 5
Para concavidade, observamos o sinal de
. Como
sempre, o sinal é o de
:
-
: → concavidade para cima. -
: → concavidade para baixo.
Passo 6
Relembrando pontos especiais: em
há reta tangente horizontal (
) e em
reta tangente vertical (
indefinido).
Resposta
A curva sobe em
e em
; desce em
e em
. A concavidade é para baixo quando
e para cima quando
.