Uma curva C é definida pelas equações paramétricas
x=t^2, y=t^3-3 t
Determine onde a curva sobe e desce e onde sua concavidade é para cima ou para baixo.

Passo 1

O enunciado pede onde a curva definida por x=t^2, y=t^3-3t sobe/ desce e sua concavidade. O conteúdo aqui é cálculo de derivadas em curvas paramétricas: vamos precisar de dydx para monotonia e d^2ydx^2 para concavidade.

Passo 2

Calculemos primeiro dxdt e dydt:
dxdt=2t,
dydt=3t^2-3=3(t^2-1)
A partir daí,
dydx=dydtdxdt=3(t^2-1)2t

Passo 3

Para ver onde a curva sobe ( dy/dx>0) ou desce ( dy/dx<0), analisamos o sinal de 3(t^2-1)2t. As raízes/nulos ocorrem em t=pm1 e há singularidade em t=0. Em cada intervalo:
  • t<-1: numerador +, denominador - dy/dx<0 (desce).
  • -1: numerador -, denominador - dy/dx>0 (sobe).
  • 0: numerador -, denominador + dy/dx<0 (desce).
  • t>1: numerador +, denominador + dy/dx>0 (sobe).

Passo 4

Agora a segunda derivada. Primeiro escrevemos dy/dx=(3/2)(t-1/t). Derivando em relação a t:
ddtl(dydxr)=32l(1+1t^2r)
Então
d^2ydx^2=ddt(dy/dx)dx/dt=32(1+1/t^2)2t=3(t^2+1)4t^3

Passo 5

Para concavidade, observamos o sinal de d^2ydx^2=3(t^2+1)4t^3. Como t^2+1>0 sempre, o sinal é o de 1/t^3:
  • t>0: d^2y/dx^2>0 → concavidade para cima.
  • t<0: d^2y/dx^2<0 → concavidade para baixo.

Passo 6

Relembrando pontos especiais: em t=pm1 há reta tangente horizontal ( dy/dx=0) e em t=0 reta tangente vertical ( dy/dx indefinido).

Resposta

A curva sobe em -1 e em t>1; desce em t<-1 e em 0. A concavidade é para baixo quando t<0 e para cima quando t>0.

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