Determine o deslocamento u(r, t) de uma membrana circular de raio c presa ao longo de sua circunferência considerando que o seu deslocamento inicial seja u(r, 0)=0 e a sua velocidade inicial seja partial upartial t|t=0=1,0. O problema de valor de contorno a ser resolvido é dado pela equação da onda e u(c, t)=0, t>0.

Passo 1

O enunciado pede o deslocamento u(r,t) de uma membrana circular de raio c, fixa na borda, que satisfaz a equação da onda utt=a^2l(urr+tfrac1r urr), com condições de contorno u(c,t)=0, condição inicial de posição u(r,0)=0 e velocidade inicial ut(r,0)=1. Vamos usar separação de variáveis e funções de Bessel para resolver.

Passo 2

Assumimos solução do tipo u(r,t)=R(r)T(t). Substituindo na PDE e dividindo por a^2RT obtemos duas EDOs separadas:
R''(r)+1rR'(r)+lambda^2R(r)=0,
T''(t)+a^2lambda^2T(t)=0

Passo 3

A equação radial é a de Bessel de ordem zero, cuja solução regular em r=0 é R(r)=J0(lambda r). A condição de contorno fixa requer
R(c)=J0(lambda c)=0,
portanto os valores próprios são lambdam=j0,m/c, onde j0,m é a m-ésima raiz de J0(x).

Passo 4

Para cada modo m a parte temporal satisfaz
Tm''(t)+l(alambdamr)^2Tm(t)=0
cuj solução geral é Tm(t)=Amcos(omegam t)+Bmsin(omegam t) com omegam=alambdam.

Passo 5

A condição inicial u(r,0)=0 implica Am=0 para todo m, ficando
u(r,t)=summ=1^infty Bm,J0(lambdam r)sin(omegam t)

Passo 6

Para impor ut(r,0)=1 escrevemos
ut(r,0)=summ=1^infty Bm,omegam,J0(lambdam r)=1

Passo 7

Usando a ortogonalidade
integral0^c rJ0(lambdam r)J0(lambdan r),dr=0 (mneq n), integral0^c r[J0(lambdam r)]^2dr=c^22[J1(j0,m)]^2,calculamos
Bm,omegam,c^22[J1(j0,m)]^2=integral0^c rJ0(lambdam r),dr=c^2J1(j0,m)j0,m

Passo 8

Isolando Bm e lembrando omegam=a j0,m/c resulta
Bm=2ca,j0,m^2J1(j0,m)

Passo 9

Substituindo de volta obtemos a solução completa.

Resposta

$$
u(r,t)=\sum_{m=1}\infty\frac{2c}{a,j_{0,m}2J_1(j_{0,m})};J_0\Bigl(\frac{j_{0,m}}{c}r\Bigr);\sin\Bigl(\frac{a,j_{0,m}}{c}t\Bigr),$$
sendo u(r,t)=summ=1^infty2ca,j0,m^2J1(j0,m);J0l(j0,mcrr);sinl(a,j0,mctr), a m-ésima raiz de j0,m.

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