Calcule a integral de linha integralgamma F d r em que F(x, y)=(x^2, x-y) e gamma(t)=(t, sin t), com 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha integralgamma F cdot dr onde o campo vetorial é F(x, y) = (x^2, x - y) e o caminho gamma(t) é dado por (t, sin t) para t de 0 até 2pi. Vamos usar conceitos de cálculo de integrais de linha em campos vetoriais e parametrização de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para calcular a integral de linha integralgamma F cdot dr, precisamos parametrizar a curva gamma(t) e encontrar dr. Aqui, gamma(t) = (t, sin t) já está parametrizada com t indo de 0 a 2pi.

Passo 3

Vamos calcular dr. Derivando gamma(t) em relação a t, temos:
dgammadt = (dxdt, dydt) = (1, cos t)
Então, dr = (1, cos t) , dt.

Passo 4

Agora, substituímos a parametrização gamma(t) no campo vetorial F(x, y). Isso dá:
F(gamma(t)) = (t^2, t - sin t)

Passo 5

A integral de linha fica então:
integral0^2pi F(gamma(t)) cdot dgammadt , dt = integral0^2pi (t^2, t - sin t) cdot (1, cos t) , dt

Passo 6

Calculamos o produto escalar dentro da integral:
(t^2 cdot 1) + ((t - sin t) cdot cos t) = t^2 + t cos t - sin t cos t
Então, a integral fica:
integral0^2pi (t^2 + t cos t - sin t cos t) , dt

Passo 7

Vamos integrar termo a termo:
  1. integral0^2pi t^2 , dt = t^33|0^2pi = (2pi)^33 - 0 = 8pi^33
  2. integral0^2pi t cos t , dt:
    Usamos integração por partes, onde u = t e dv = cos t , dt. Então, du = dt e v = sin t.
uv - integral v , du = t sin t - integral sin t , dt = t sin t + cos t |0^2pi = (2pi cdot 0 + cos 2pi) - (0 + cos 0) = 1 - 1 = 0
  1. integral0^2pi -sin t cos t , dt:
    Podemos usar a identidade sin t cos t = 12 sin 2t, então:
-integral0^2pi 12 sin 2t , dt = -12 [-12 cos 2t]0^2pi = -12 (-12(cos 4pi - cos 0)) = -12 (-12(1 - 1)) = 0

Resposta

Somando todos os termos, a integral de linha é:
8pi^33 + 0 + 0 = 8pi^33
Então, a resposta final é 8pi^33.

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