Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha onde o campo vetorial é e o caminho é dado por para de até . Vamos usar conceitos de cálculo de integrais de linha em campos vetoriais e parametrização de curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para calcular a integral de linha , precisamos parametrizar a curva e encontrar . Aqui, já está parametrizada com indo de a .
Passo 3
Vamos calcular . Derivando em relação a , temos:
Então, .
Passo 4
Agora, substituímos a parametrização no campo vetorial . Isso dá:
Passo 5
A integral de linha fica então:
Passo 6
Calculamos o produto escalar dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos integrar termo a termo:
integral0^2pi t cos t , dt:
Usamos integração por partes, onde u = t e dv = cos t , dt. Então, du = dt e v = sin t.
uv - integral v , du = t sin t - integral sin t , dt = t sin t + cos t |0^2pi = (2pi cdot 0 + cos 2pi) - (0 + cos 0) = 1 - 1 = 0
integral0^2pi -sin t cos t , dt:
Podemos usar a identidade sin t cos t = 12 sin 2t, então:
-integral0^2pi 12 sin 2t , dt = -12 [-12 cos 2t]0^2pi = -12 (-12(cos 4pi - cos 0)) = -12 (-12(1 - 1)) = 0