Determine, em cada caso, se a série converge ou diverge, justificando.
sumn=1^infty (-1)^n n!n^n

Passo 1

Vamos considerar a série sumn=1^infty(-1)^nn!n^n. O conteúdo aqui é teste de convergência de séries alternantes (crité
adrio de Leibniz) e teste da razão para convergência absoluta. Vamos usar o termo geral an=(-1)^nbn, onde bn=n!/n^n.

Passo 2

Primeiro, verificamos que bn>0, que bn é decrescente e que bnto0. Calculamos a razão entre termos consecutivos:
bn+1bn=(n+1)!/(n+1)^n+1n!/n^n=n^n(n+1)^n=l(1-1n+1r)^n<1
Como (1-1/(n+1))^n<1 para todo n, segue que bn é decrescente. Além disso, pelo teste da razão ou pelo uso de Stirling, bnto0.

Passo 3

Pelo critério de Leibniz (série alternante com termos positivos decrescentes que tendem a zero), a série converge.

Passo 4

Agora, para verificar convergência absoluta, aplicamos o teste da razão em bn=n!/n^n. Já vimos que
limntoinftybn+1bn=limntoinftyl(1-1n+1r)^n=1e<1

Passo 5

Logo, sum bn converge, e a série original converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente.

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