Calcule a integral de linha ao longo do caminho indicado.
, onde
resulta da união do segmento retilíneo que vai de
a
com o arco da circunferência
, situado no primeiro quadrante entre os pontos
e
, percorrido no sentido positivo.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
sobre o caminho
formado pelo segmento de reta de
a
e, em seguida, pelo arco da circunferência
no primeiro quadrante (de
a
), orientado no sentido positivo. Para resolver, vamos usar parametrização em cada trecho e somar os resultados.
Passo 2
Parametrizamos o segmento de reta por
,
. Então
,
,
,
. Substituindo na integral, obtemos
[
\int_0^1\bigl[2xy,dx -4(x-y),dy\bigr]
=\int_0^1\bigl[8(xy+x-y)\bigr]dt
=\int_01\bigl(-88+160t-64t2\bigr)dt
=-\frac{88}{3}.
\int_0^1\bigl[2xy,dx -4(x-y),dy\bigr]
=\int_0^1\bigl[8(xy+x-y)\bigr]dt
=\int_01\bigl(-88+160t-64t2\bigr)dt
=-\frac{88}{3}.
Passo 3
Parametrizamos o arco circular por
,
. Então
e
. A integral vira
[
\int_0{\pi/2}\Bigl[-2\cos\theta\sin2\theta-4\cos^2\theta+4\sin\theta\cos\theta\Bigr]d\theta
=-\pi+\tfrac{4}{3}.
\int_0{\pi/2}\Bigl[-2\cos\theta\sin2\theta-4\cos^2\theta+4\sin\theta\cos\theta\Bigr]d\theta
=-\pi+\tfrac{4}{3}.
Passo 4
Somando as duas contribuições do segmento retilíneo e do arco circular, o resultado final é
Resposta
-28 - \pi