Calcule a integral de linha ao longo do caminho indicado.
integralC 2 x y d x-4(x-y) d y, onde C resulta da união do segmento retilíneo que vai de (-3,2) a (1,0) com o arco da circunferência x^2+y^2=1, situado no primeiro quadrante entre os pontos (1,0) e (0,1), percorrido no sentido positivo.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha integralC2xy,dx -4(x-y),dy sobre o caminho C formado pelo segmento de reta de (-3,2) a (1,0) e, em seguida, pelo arco da circunferência x^2+y^2=1 no primeiro quadrante (de (1,0) a (0,1)), orientado no sentido positivo. Para resolver, vamos usar parametrização em cada trecho e somar os resultados.

Passo 2

Parametrizamos o segmento de reta por r1(t)=(-3,2)+t(4,-2), tin[0,1]. Então x=-3+4t, y=2-2t, dx=4,dt, dy=-2,dt. Substituindo na integral, obtemos
[
\int_0^1\bigl[2xy,dx -4(x-y),dy\bigr]
=\int_0^1\bigl[8(xy+x-y)\bigr]dt
=\int_01\bigl(-88+160t-64t2\bigr)dt
=-\frac{88}{3}.

Passo 3

Parametrizamos o arco circular por r2(theta)=(costheta,sintheta), thetain[0,pi/2]. Então dx=-sintheta,dtheta e dy=costheta,dtheta. A integral vira
[
\int_0{\pi/2}\Bigl[-2\cos\theta\sin2\theta-4\cos^2\theta+4\sin\theta\cos\theta\Bigr]d\theta
=-\pi+\tfrac{4}{3}.

Passo 4

Somando as duas contribuições do segmento retilíneo e do arco circular, o resultado final é
-883+l(-pi+tfrac43r) =-28-pi

Resposta

-28 - \pi

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