Calcule a integral de linha ao longo do caminho indicado.
C, sendo x=0 o caminho do primeiro quadrante, orientado positivamente, dado pelo eixo OX, de x=2 a x^2+y^2=4, seguido do arco da circunferência (2,0), do ponto (raiz2, raiz2) ao ponto , complementado pelo segmento retilíneo que parte desse último ponto e chega à origem.

Passo 1

A integral de linha é integralC xsin(e^x),dx - x^2y,dy. O caminho C é fechado e fica no primeiro quadrante, então podemos usar o Teorema de Green Para transformar essa integral de linha numa integral dupla sobre a região D delimitada por C.

Passo 2

Identificamos a forma P,dx+Q,dy, com
P(x,y)=xsin(e^x) e Q(x,y)=-x^2y. Para ver se é conservativa, calculamos:
partial P/partial y=0 e partial Q/partial x=-2xy. Como não coincidem, usamos Green:
ointC P,dx+Q,dy=integral duplaDl(partial Q/partial x - partial P/partial yr)dA=integral duplaD(-2xy),dA

Passo 3

A região D é o setor de círculo de raio 2 entre theta=0 e theta=pi/4. Em coordenadas polares temos:
x=rcostheta, y=rsintheta, dA=r,dr,dtheta, 0<= r<=2,;0<=theta<=tfracpi4

Passo 4

Montamos a integral:
$$\iint_D(-2xy),dA=-2\int_{0}{\pi/4}\int_{0}{2}(r\cos\theta)(r\sin\theta),r,dr,d\theta
=-2\int_{0}{\pi/4}\int_{0}{2}r^3\cos\theta\sin\theta,dr,d\theta. integral duplaD(-2xy),dA=-2integral0^pi/4integral0^2(rcostheta)(rsintheta),r,dr,dtheta =-2integral0^pi/4integral0^2r^3costhetasintheta,dr,dtheta=-8\int_{0}^{\pi/4}\cos\theta\sin\theta,d\theta.$$

Passo 5

Para o ângulo usamos costhetasintheta=tfrac12sin(2theta):
$$\int_{0}{\pi/4}\cos\theta\sin\theta,d\theta=\tfrac12\int_{0}{\pi/4}\sin(2\theta),d\theta
=\tfrac12\Bigl[-\tfrac12\cos(2\theta)\Bigr]_0^{\pi/4}=\tfrac14.$$
Logo a integral é integral0^pi/4costhetasintheta,dtheta=tfrac12integral0^pi/4sin(2theta),dtheta =tfrac12l[-tfrac12cos(2theta)r]0^pi/4=tfrac14.

Resposta

-2

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