Calcule a integral de linha ao longo do caminho indicado.
, sendo
o caminho do primeiro quadrante, orientado positivamente, dado pelo eixo OX, de
a
, seguido do arco da circunferência
, do ponto
ao ponto
, complementado pelo segmento retilíneo que parte desse último ponto e chega à origem.
Passo 1
A integral de linha é
. O caminho
é fechado e fica no primeiro quadrante, então podemos usar o Teorema de Green Para transformar essa integral de linha numa integral dupla sobre a região
delimitada por
.
Passo 2
Identificamos a forma
, com
e
. Para ver se é conservativa, calculamos:
e
. Como não coincidem, usamos Green:
Passo 3
A região
é o setor de círculo de raio 2 entre
e
. Em coordenadas polares temos:
Passo 4
Montamos a integral:
$$\iint_D(-2xy),dA=-2\int_{0}{\pi/4}\int_{0}{2}(r\cos\theta)(r\sin\theta),r,dr,d\theta
=-2\int_{0}{\pi/4}\int_{0}{2}r^3\cos\theta\sin\theta,dr,d\theta.
=-8\int_{0}^{\pi/4}\cos\theta\sin\theta,d\theta.$$
Passo 5
Para o ângulo usamos
:
$$\int_{0}{\pi/4}\cos\theta\sin\theta,d\theta=\tfrac12\int_{0}{\pi/4}\sin(2\theta),d\theta
=\tfrac12\Bigl[-\tfrac12\cos(2\theta)\Bigr]_0^{\pi/4}=\tfrac14.$$
Logo a integral é .
Logo a integral é
Resposta
-2