Usando a Regra de L Hospital, calcule
. ?
Passo 1
Beleza! Então, a gente tem que calcular o limite
usando a Regra de L’Hospital. Isso envolve conceitos de limites, funções trigonométricas e um pouquinho de cálculo diferencial. Vamos precisar entender como transformar expressões complicadas de potências em algo mais fácil de lidar, especialmente quando aparecem indeterminações.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar o cálculo do limite. Quando temos uma função na forma
, uma boa estratégia é tomar o logaritmo natural dos dois lados para transformar a potência em uma multiplicação. Então, vamos chamar o limite que queremos de
:
Aplicando o logaritmo natural:
Passo 3
Agora, vamos analisar o que acontece quando
se aproxima de
por valores menores:
-
se aproxima de 0. -
também se aproxima de 0, já que vai para 0 e vai para 1.
Então, temos uma expressão do tipo
, que é uma indeterminação. Para resolver isso, podemos reescrever a expressão como uma fração:
Agora, tanto o numerador quanto o denominador vão para
e
, respectivamente, o que nos dá uma forma
, uma indeterminação que podemos resolver usando a Regra de L’Hospital.
Passo 4
Aplicando a Regra de L’Hospital, que diz que se temos uma indeterminação
ou
, o limite da fração é igual ao limite das derivadas das partes superior e inferior:
Calculando as derivadas:
- Derivada do numerador:
- Derivada do denominador:
Então, o limite fica:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão. Sabemos que
, então
. Substituindo na expressão:
Sabendo que
, substituímos novamente:
Passo 6
Agora, avaliamos o limite diretamente. À medida que
se aproxima de
por valores menores:
Portanto:
Resposta
Como
, então
. Portanto,