Usando a Regra de L Hospital, calcule lim x (pi2)^-(cos x)^cotg x. ?

Passo 1

Beleza! Então, a gente tem que calcular o limite lim x (pi2)^-(cos x)^cot x usando a Regra de L’Hospital. Isso envolve conceitos de limites, funções trigonométricas e um pouquinho de cálculo diferencial. Vamos precisar entender como transformar expressões complicadas de potências em algo mais fácil de lidar, especialmente quando aparecem indeterminações.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar o cálculo do limite. Quando temos uma função na forma f(x)^g(x), uma boa estratégia é tomar o logaritmo natural dos dois lados para transformar a potência em uma multiplicação. Então, vamos chamar o limite que queremos de L:
L = lim x (pi2)^-(cos x)^cot x
Aplicando o logaritmo natural:
ln L = lim x (pi2)^- cot x cdot ln(cos x)

Passo 3

Agora, vamos analisar o que acontece quando x se aproxima de pi2 por valores menores:
  • cos x se aproxima de 0.
  • cot x = cos xsin x também se aproxima de 0, já que cos x vai para 0 e sin x vai para 1.
Então, temos uma expressão do tipo 0 cdot (-infty), que é uma indeterminação. Para resolver isso, podemos reescrever a expressão como uma fração:
ln L = lim x (pi2)^- ln(cos x)tan x
Agora, tanto o numerador quanto o denominador vão para -infty e +infty, respectivamente, o que nos dá uma forma -infty+infty, uma indeterminação que podemos resolver usando a Regra de L’Hospital.

Passo 4

Aplicando a Regra de L’Hospital, que diz que se temos uma indeterminação inftyinfty ou 00, o limite da fração é igual ao limite das derivadas das partes superior e inferior:
ln L = lim x (pi2)^- ddx[ln(cos x)] div ddx[tan x]
Calculando as derivadas:
  • Derivada do numerador: ddx[ln(cos x)] = -sin xcos x = -tan x
  • Derivada do denominador: ddx[tan x] = sec^2 x
Então, o limite fica:
ln L = lim x (pi2)^- -tan xsec^2 x

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão. Sabemos que sec x = 1cos x, então sec^2 x = 1cos^2 x. Substituindo na expressão:
ln L = lim x (pi2)^- -tan x1cos^2 x = lim x (pi2)^- -tan x cdot cos^2 x
Sabendo que tan x = sin xcos x, substituímos novamente:
ln L = lim x (pi2)^- -sin xcos x cdot cos^2 x = lim x (pi2)^- -sin x cdot cos x

Passo 6

Agora, avaliamos o limite diretamente. À medida que x se aproxima de pi2 por valores menores:
  • sin x to 1
  • cos x to 0
Portanto:
ln L = -1 cdot 0 = 0

Resposta

Como ln L = 0, então L = e^0 = 1. Portanto,
lim x (pi2)^-(cos x)^cot x = 1

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