Verifique que as seguintes funções são soluções das e.d.o. correspondentes:
x(t)=(t+k) e^-3 t de x^prime+3 x=e^-3 t, onde k denota uma constante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a função $ x(t) = (t + k) e^{-3t} $ é uma solução da equação diferencial $ x’ + 3x = e^{-3t} $. Aqui estamos lidando com uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada de $ x(t) $ e depois substituí-la na equação para ver se ela é verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de $ x(t) $ em relação a $ t $. Lembre-se que $ x(t) = (t + k) e^{-3t} $. Para derivar isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de $ u \cdot v $ é $ u’ \cdot v + u \cdot v’ $.
Então, seja $ u = t + k $ e $ v = e^{-3t} $.
Calculando as derivadas:
  • $ u’ = \frac{d}{dt}(t + k) = 1 $
  • $ v’ = \frac{d}{dt}(e^{-3t}) = -3 e^{-3t} $
Agora, aplicamos a regra do produto:
x(t)

Passo 3

Agora que temos $ x’ $, vamos substituir $ x $ e $ x’ $ na equação diferencial original $ x’ + 3x = e^{-3t} $.
Substituindo:
x'

Passo 4

Vamos simplificar a expressão:
[e^-3t - 3(t + k)e^-3t] + 3(t + k)e^-3t = e^-3t
Os termos $ -3(t + k)e^{-3t} $ e $ +3(t + k)e^{-3t} $ se cancelam, restando apenas $ e^{-3t} $.

Resposta

Como ao substituir $ x(t) $ e $ x’(t) $ na equação diferencial conseguimos obter $ e^{-3t} $, que é igual ao lado direito da equação, concluímos que $ x(t) = (t + k) e^{-3t} $ é realmente uma solução da equação diferencial $ x’ + 3x = e^{-3t} $.

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