Calcule a integral de linha ao longo do caminho indicado.
integralC F cdot d r, onde F(x, y)=y^2 i+x^2 j e C é o caminho que vai do ponto ( 0,-1 ) ao ponto (0,1) através da semicircunferência x=raiz1-y^2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha integralC vec Fcdot dvec r com vec F(x,y)=(y^2,,x^2) ao longo da semicircunferência de raio 1 no semiplano x>=0 que vai de (0,-1) a (0,1). Vamos usar parametrização e propriedades de simetria para resolver.

Passo 2

Parametrizamos o caminho usando y=t e x=raiz1-t^2, com t variando de -1 a 1. Assim,
r(t)=l(raiz1-t^2,,tr), tin[-1,1]

Passo 3

Calculamos o vetor diferencial
dvec r=(x'(t),,y'(t)),dt=l(-traiz1-t^2,,1r)dt

Passo 4

Substituímos na integral:
vec F(r(t))=(t^2,,1-t^2),
vec Fcdot dvec r=t^2l(-traiz1-t^2r)+(1-t^2),dt=(1-t^2)-t^3raiz1-t^2,dt

Passo 5

Então a integral fica
I=integral-1^1l((1-t^2)-t^3raiz1-t^2r)dt

Passo 6

Separando em duas partes,
integral-1^1(1-t^2)dt=l[t-tfract^33r]-1^1=2-tfrac23=tfrac43,
e
integral-1^1t^3raiz1-t^2dt=0,
pois o integrando é função ímpar em [-1,1].

Resposta

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