Calcule a integral de linha ao longo do caminho indicado.
integralgamma F cdot d gamma, onde gamma é o segmento de reta que vai do ponto B=(pi, 1) ao ponto F(x, y)=(y sen x,-cos x) e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular uma integral de linha do campo vetorial F(x, y) = (y sin x, -cos x) ao longo de um caminho que é uma reta do ponto A = (pi2, 0) até o ponto B = (pi, 1). Para resolver isso, vamos usar conceitos de parametrização de trajetórias e cálculo de integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar esse caminho gamma. Como é uma reta reta entre os dois pontos, podemos usar um parâmetro t que varia de 0 a 1 para descrever a posição ao longo da reta.

Passo 3

A parametrização fica assim:
x(t) = pi2 + t(pi - pi2) = pi2 + pi2 t
y(t) = 0 + t(1 - 0) = t
onde t in [0, 1].

Passo 4

Agora, calculamos as derivadas de x(t) e y(t) em relação a t:
dxdt = pi2
dydt = 1
Isso nos dá o vetor diferencial dgamma = (pi2, 1) dt.

Passo 5

Substituímos a parametrização na função F:
F(x(t), y(t)) = (t sin(pi2 + pi2 t), -cos(pi2 + pi2 t))

Passo 6

Calculamos o produto escalar F cdot dgamma:
F cdot dgamma = (t sin(pi2 + pi2 t)) cdot pi2 + (-cos(pi2 + pi2 t)) cdot 1
= pi2 t sin(pi2 + pi2 t) - cos(pi2 + pi2 t)

Passo 7

Simplificamos as funções trigonométricas usando identidades:
sin(pi2 + pi2 t) = cos(pi2 t)
cos(pi2 + pi2 t) = -sin(pi2 t)
Então, a expressão fica:
pi2 t cos(pi2 t) + sin(pi2 t)

Passo 8

Agora, integramos essa expressão de t = 0 a t = 1:
integral0^1 ( pi2 t cos(pi2 t) + sin(pi2 t) ) dt

Passo 9

Vamos resolver a integral passo a passo:
  1. Para pi2 t cos(pi2 t), usamos integração por partes:
    u = t Rightarrow du = dt
    dv = cos(pi2 t) dt Rightarrow v = 2pi sin(pi2 t)
    Então:
    pi2 [ t cdot 2pi sin(pi2 t) - integral 2pi sin(pi2 t) dt ] = t sin(pi2 t) + 4pi^2 cos(pi2 t)
  2. Para sin(pi2 t):
    integral sin(pi2 t) dt = -2pi cos(pi2 t)

Passo 10

Juntando tudo:
t sin(pi2 t) + 4pi^2 cos(pi2 t) - 2pi cos(pi2 t)
Avaliando de 0 a 1:
  • Para t = 1: 1 cdot sin(pi2) + 4pi^2 cos(pi2) - 2pi cos(pi2) = 1 + 0 - 0 = 1
  • Para t = 0: 0 + 4pi^2 cdot 1 - 2pi cdot 1 = 4pi^2 - 2pi
Então, a integral é:
1 - (4pi^2 - 2pi) = 1 - 4pi^2 + 2pi

Resposta

A integral de linha vale 1 - 4pi^2 + 2pi.

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