Calcule a integral de linha ao longo do caminho indicado.
, onde
é o segmento de reta que vai do ponto
ao ponto
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular uma integral de linha do campo vetorial
ao longo de um caminho que é uma reta do ponto
até o ponto
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de parametrização de trajetórias e cálculo de integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar esse caminho
. Como é uma reta reta entre os dois pontos, podemos usar um parâmetro
que varia de 0 a 1 para descrever a posição ao longo da reta.
Passo 3
A parametrização fica assim:
onde
.
Passo 4
Agora, calculamos as derivadas de
e
em relação a
:
Isso nos dá o vetor diferencial
.
Passo 5
Substituímos a parametrização na função
:
Passo 6
Calculamos o produto escalar
:
Passo 7
Simplificamos as funções trigonométricas usando identidades:
Então, a expressão fica:
Passo 8
Agora, integramos essa expressão de
a
:
Passo 9
Vamos resolver a integral passo a passo:
-
Para
, usamos integração por partes: Então: -
Para
:
Passo 10
Juntando tudo:
Avaliando de 0 a 1:
- Para
: - Para
:
Então, a integral é:
Resposta
A integral de linha vale
.