Verifique que as seguintes funções são soluções das e.d.o. correspondentes:
Determine para quais valores de
a função
é solução da equação diferencial
.
Determine para quais valores de
Passo 1
Então, a questão pede para a gente verificar para quais valores de $ m $ a função $ y(x) = x^{m} $ satisfaz a equação diferencial $ x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + x \frac{d y}{d x} - 4 y = 0 $. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais ordinárias, especificamente aquelas que lidam com soluções de funções potenciais. Para resolver, vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivadas de $ y(x) $ e substituir na equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de $ y(x) = x^{m} $. Lembre-se que a derivada de $ x^{m} $ em relação a $ x $ é dada por:
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de $ y(x) = x^{m} $. Derivando $ y’ = m x^{m-1} $ novamente, temos:
Portanto:
Passo 4
Com as derivadas calculadas, vamos substituir $ y $, $ y’ $ e $ y’’ $ na equação diferencial original:
Substituindo:
Passo 5
Vamos simplificar cada termo:
Então, a equação fica:
Passo 6
Fatorando $ x^{m} $ da equação:
Como $ x^{m} $ não é zero para $ x \neq 0 $, podemos igualar o que está dentro dos colchetes a zero:
Passo 7
Vamos resolver a equação para $ m $:
Simplificando:
Então:
Resposta
Os valores de $ m $ que tornam $ y(x) = x^{m} $ solução da equação diferencial dada são $ m = 2 $ e $ m = -2 $.