Verifique que as seguintes funções são soluções das e.d.o. correspondentes:
Determine para quais valores de m a função y(x)=x^m é solução da equação diferencial x^2 d^2 yd x^2+x d yd x-4 y=0.

Passo 1

Então, a questão pede para a gente verificar para quais valores de $ m $ a função $ y(x) = x^{m} $ satisfaz a equação diferencial $ x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + x \frac{d y}{d x} - 4 y = 0 $. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais ordinárias, especificamente aquelas que lidam com soluções de funções potenciais. Para resolver, vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivadas de $ y(x) $ e substituir na equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de $ y(x) = x^{m} $. Lembre-se que a derivada de $ x^{m} $ em relação a $ x $ é dada por:
y(x) = x^m
Então, temos:
x^m

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de $ y(x) = x^{m} $. Derivando $ y’ = m x^{m-1} $ novamente, temos:
y(x) = x^m
Portanto:
y' = m x^m-1

Passo 4

Com as derivadas calculadas, vamos substituir $ y $, $ y’ $ e $ y’’ $ na equação diferencial original:
y
Substituindo:
y'

Passo 5

Vamos simplificar cada termo:
x^2 cdot m(m-1)x^m-2 = m(m-1)x^m
x cdot m x^m-1 = m x^m
Então, a equação fica:
m(m-1)x^m + m x^m - 4 x^m = 0

Passo 6

Fatorando $ x^{m} $ da equação:
x^m
Como $ x^{m} $ não é zero para $ x \neq 0 $, podemos igualar o que está dentro dos colchetes a zero:
x^m [m(m-1) + m - 4] = 0

Passo 7

Vamos resolver a equação para $ m $:
m
Simplificando:
m^2 - m + m - 4 = 0
Então:
m^2 - 4 = 0
m^2 = 4

Resposta

Os valores de $ m $ que tornam $ y(x) = x^{m} $ solução da equação diferencial dada são $ m = 2 $ e $ m = -2 $.

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