Calcule a integral de linha ao longo do caminho indicado.
(x-1)^2+y^2=1 o caminho, percorrido uma vez no sentido positivo, definido pela circunferência de equação .

Passo 1

Temos a integral de linha integralC 2,dx + (x^2 - ytan y),dy ao longo da circunferência definida por (x-1)^2 + y^2 = 1, percorrida no sentido positivo. O conteúdo é integrais de linha e vamos usar o Teorema de Green para resolver.

Passo 2

Definimos o campo vetorial F = (P,Q) com P(x,y)=2 e Q(x,y)=x^2 - ytan y. Calculamos as derivadas parciais: partial P/partial y = 0 e partial Q/partial x = 2x. Como partial Q/partial x neq partial P/partial y, o campo não é conservativo, então aplicamos o Teorema de Green.

Passo 3

O Teorema de Green diz que, para C fronteira positiva de D, vale:
integralC P,dx + Q,dy = integral duplaD l(partial Qpartial x - partial Ppartial yr) dA

Passo 4

Substituindo as derivadas temos partial Q/partial x - partial P/partial y = 2x. Assim,
integralC 2,dx + (x^2 - ytan y),dy = integral duplaD 2x,dA

Passo 5

O domínio D é o disco de raio 1 centrado em (1,0). Usamos que integral duplaD x,dA = área(D) times xcentroá. Como área(D)=piá e o centróide está em x=1, temos integral duplaD x,dA = pi. Logo,
integral duplaD 2x,dA = 2 integral duplaD x,dA = 2pi

Resposta

2pi

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