Use a técnica da separação de variáveis para resolver as seguintes equações e/ou P.V.I.:
y^prime(x)=a y(x), com a in R

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a equação diferencial $ y’(x) = a y(x) $ usando a técnica de separação de variáveis. Isso está dentro da matéria de Equações Diferenciais, especificamente envolvendo métodos para resolver equações de primeira ordem. Para resolver essa equação, vamos precisar entender como separar as variáveis $ y $ e $ x $ e integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis $ y $ e $ x $. A equação dada é:
y
Lembrando que $ y’(x) $ é a derivada de $ y $ em relação a $ x $, podemos escrever isso como:
x
Agora, vamos separar as variáveis colocando todos os termos com $ y $ de um lado e os termos com $ x $ do outro:
y'(x) = a y(x)

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados da equação. A integração nos ajuda a encontrar a função $ y(x) $. Vamos integrar o lado esquerdo em relação a $ y $ e o lado direito em relação a $ x $:
y(x)
A integral de $ \frac{1}{y} , dy $ é $ \ln|y| $, e a integral de $ a , dx $ é $ a x $. Então, temos:
y
onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 4

Para resolver a equação $ \ln|y| = a x + C $ para $ y $, vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial em ambos os lados:
ln|y| = a x + C
Sabemos que $ e^{\ln|y|} = |y| $, então:
y
Como $ e^{C} $ é apenas uma constante positiva, podemos renomear $ e^{C} $ como uma nova constante $ k $ (que pode ser positiva ou negativa, já que está dentro do valor absoluto). Assim, temos:
e^ln|y| = e^a x + C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = k , e^a x
onde $ k $ é uma constante arbitrária.

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