Calcule a integral de linha ao longo da curva C.
integralC(x+2 y) d x+(x-y) d y
C: x=2 cos t, y=4 sen t (0 <= t <= pi / 4)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que calcular uma integral de linha ao longo da curva integralC(x + 2y) , dx + (x - y) , dy . A integral é dada por:
x = 2 cos t, y = 4 sin t para 0 <= t <= pi4
A curva está parametrizada por:
Vamos precisar usar o conceito de integrais de linha em cálculo vetorial, que envolve parametrizar a curva e substituir na integral para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como parametrizar a curva x(t) = 2 cos t . Sabemos que:
y(t) = 4 sin t
dxdt = -2 sin t
Com dydt = 4 cos t variando de até .
Para calcular a integral de linha, precisamos encontrar as derivadas de e em relação a :

Passo 3

Agora, vamos substituir integral0^pi4 [ (2 cos t + 2 cdot 4 sin t) cdot (-2 sin t) + (2 cos t - 4 sin t) cdot (4 cos t) ] dt , = integral0^pi4 [ (2 cos t + 8 sin t)(-2 sin t) + (2 cos t - 4 sin t)(4 cos t) ] dt , e na integral original. A integral de linha fica:
Vamos simplificar os termos dentro da integral:

Passo 4

Vamos expandir os produtos:
= integral0^pi4 [ -4 cos t sin t - 16 sin^2 t + 8 cos^2 t - 16 sin t cos t ] dt
Agora, combinamos termos semelhantes:
= integral0^pi4 [ 8 cos^2 t - 4 cos t sin t - 16 sin^2 t - 16 sin t cos t ] dt
= integral0^pi4 [ 8 cos^2 t - 20 cos t sin t - 16 sin^2 t ] dt

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente. Lembre-se das fórmulas de integração para potências de seno e cosseno:
integral cos^2 t , dt = t2 + sin(2t)4 + C
integral sin t cos t , dt = sin^2 t2 + C
integral sin^2 t , dt = t2 - sin(2t)4 + C
Aplicando essas fórmulas:
8 integral cos^2 t , dt = 8 ( t2 + sin(2t)4 ) = 4t + 2 sin(2t)
-20 integral sin t cos t , dt = -20 ( sin^2 t2 ) = -10 sin^2 t
-16 integral sin^2 t , dt = -16 ( t2 - sin(2t)4 ) = -8t + 4 sin(2t)

Passo 6

Agora, somamos todas as integrais:
4t + 2 sin(2t) - 10 sin^2 t - 8t + 4 sin(2t)
= -4t + 6 sin(2t) - 10 sin^2 t
Agora, avaliamos essa expressão de -4 cdot pi4 + 6 sin(pi2) - 10 sin^2(pi4) = -pi + 6 cdot 1 - 10 ( raiz22 )^2 = -pi + 6 - 10 cdot 12 = -pi + 6 - 5 = -pi + 1 até -4 cdot 0 + 6 sin(0) - 10 sin^2(0) = 0 + 0 - 0 = 0 :
Para :
Para :

Resposta

A integral de linha ao longo da curva é .

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