Calcule a integral de linha ao longo da curva
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que calcular uma integral de linha ao longo da curva
. A integral é dada por:
A curva
está parametrizada por:
Vamos precisar usar o conceito de integrais de linha em cálculo vetorial, que envolve parametrizar a curva e substituir na integral para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como parametrizar a curva
. Sabemos que:
Com
variando de
até
.
Para calcular a integral de linha, precisamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos substituir
,
,
e
na integral original. A integral de linha fica:
Vamos simplificar os termos dentro da integral:
Passo 4
Vamos expandir os produtos:
Agora, combinamos termos semelhantes:
Passo 5
Vamos integrar cada termo separadamente. Lembre-se das fórmulas de integração para potências de seno e cosseno:
Aplicando essas fórmulas:
Passo 6
Agora, somamos todas as integrais:
Agora, avaliamos essa expressão de
até
:
Para
:
Para
:
Resposta
A integral de linha ao longo da curva
é
.