Calcule a integral de linha em relação a s ao longo da curva C.
integralC e^-zx^2+y^2 d s
l integralC x^2+y^2 d S C: r(t)=2 cos t i+2 sen t j+t k (0 <= t <= 2 pi)

Passo 1

O enunciado pede para calcular uma integral de linha escalar
integralC e^-zx^2+y^2,ds ao longo da curva dada por
r(t)=2cos t, i+2sin t, j+t, k,
com 0<= t<=2pi. O conteúdo é integral de linha de função escalar, e vamos precisar da parametrização r(t) e da expressão para ds=| r,'(t)|,dt.

Passo 2

Primeiro calculamos as componentes:
x(t)=2cos t, y(t)=2sin t, z(t)=t.
Então
r,'(t)=(-2sin t), i+(2cos t), j+1, k
negrito e a norma:
| r,'(t)|=raiz(-2sin t)^2+(2cos t)^2+1^2= raiz4(sin^2 t+cos^2 t)+1= raiz5
Logo ds=raiz5,dt.

Passo 3

Substituímos tudo na integral. Note que
x^2+y^2=(2cos t)^2+(2sin t)^2=4
e e^-z=e^-t. Assim
integralCe^-zx^2+y^2,ds =integral0^2pie^-t4,(raiz5),dt =raiz54integral0^2pie^-t,dt

Passo 4

Agora basta calcular a integral de e^-t. Temos
integral0^2pie^-t,dt=igl[-e^-tr]0^2pi=-e^-2pi+1=1-e^-2pi 
Multiplicando pelo fator raiz5/4 chega-se ao resultado final.

Resposta

raiz54l(1-e^-2pir)

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